2次不等式 $12x^2 + bx + c > 0$ の解が $x < \frac{2}{3}$, $\frac{1}{4} < x$ であるとき、定数 $b, c$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次不等式 $12x^2 + bx + c > 0$ の解が $x < \frac{2}{3}$, $\frac{1}{4} < x$ であるとき、定数 $b, c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた解から、2次方程式 $12x^2 + bx + c = 0$ の解が $x = \frac{2}{3}$ と $x = \frac{1}{4}$ であることがわかる。

したがって、$12x^2 + bx + c = 0$ は $12(x - \frac{2}{3})(x - \frac{1}{4}) = 0$ と書ける。

これを展開すると、

$12(x^2 - \frac{1}{4}x - \frac{2}{3}x + \frac{2}{12}) = 0$

$12(x^2 - \frac{3}{12}x - \frac{8}{12}x + \frac{1}{6}) = 0$

$12(x^2 - \frac{11}{12}x + \frac{1}{6}) = 0$

$12x^2 - 11x + 2 = 0$

したがって、$12x^2 + bx + c > 0$ の解が $x < \frac{2}{3}$, $\frac{1}{4} < x$ であることから、$12x^2 - 11x + 2 > 0$ である。よって $b = -11$, $c = 2$ である。

3. 最終的な答え

$b = -11$

$c = 2$