$0^\circ \leqq x \leqq 180^\circ$ のとき、$y = \sin^2 x - \cos x$ について、次の問いに答えます。 (1) $\cos x = t$ とおくとき、$y$ を $t$ で表します。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求めます。 (3) $y$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$0^\circ \leqq x \leqq 180^\circ$ のとき、$y = \sin^2 x - \cos x$ について、次の問いに答えます。

(1) $\cos x = t$ とおくとき、$y$ を $t$ で表します。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求めます。

(3) $y$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\cos x = t$ とおくと、$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - t^2$ となります。したがって、$y$ は次のように $t$ で表されます。

$y = 1 - t^2 - t$

(2) $0^\circ \leqq x \leqq 180^\circ$ のとき、$\cos x$ の値域は $-1 \leqq \cos x \leqq 1$ です。したがって、$t$ のとりうる値の範囲は $-1 \leqq t \leqq 1$ です。

(3) $y = 1 - t^2 - t$ を変形すると、

$y = -(t^2 + t) + 1 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 1 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$

ここで、$-1 \leqq t \leqq 1$ であるから、$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$y$ は最大値 $\frac{5}{4}$ をとります。このとき、$\cos x = -\frac{1}{2}$ より、$x = 120^\circ$ です。

また、$t = 1$ のとき、$y$ は最小値 $1 - 1 - 1 = -1$ をとります。このとき、$\cos x = 1$ より、$x = 0^\circ$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y = -t^2 - t + 1$

(2) $-1 \leqq t \leqq 1$

(3) 最大値: $\frac{5}{4}$ ($x = 120^\circ$ のとき), 最小値: $-1$ ($x = 0^\circ$ のとき)