与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点が$(-1, 3)$で、点$(1, 11)$を通る2次関数を求めます。 (2) 頂点が$(3, 2)$で、点$(5, 0)$を通る2次関数を求めます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点が$(-1, 3)$で、点$(1, 11)$を通る2次関数を求めます。

(2) 頂点が$(3, 2)$で、点$(5, 0)$を通る2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が$(-1, 3)$であることから、求める2次関数は

$y = a(x + 1)^2 + 3$

と表せます。点$(1, 11)$を通ることから、

$11 = a(1 + 1)^2 + 3$

$11 = 4a + 3$

$4a = 8$

$a = 2$

したがって、求める2次関数は

$y = 2(x + 1)^2 + 3 = 2(x^2 + 2x + 1) + 3 = 2x^2 + 4x + 2 + 3 = 2x^2 + 4x + 5$

(2) 頂点が$(3, 2)$であることから、求める2次関数は

$y = a(x - 3)^2 + 2$

と表せます。点$(5, 0)$を通ることから、

$0 = a(5 - 3)^2 + 2$

$0 = 4a + 2$

$4a = -2$

$a = -\frac{1}{2}$

したがって、求める2次関数は

$y = -\frac{1}{2}(x - 3)^2 + 2 = -\frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) + 2 = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{9}{2} + 2 = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 + 4x + 5$

(2) $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - \frac{5}{2}$