数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+1}$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、$a_n = 4 \cdot 5^{n-1} - 6^{n+1}$ の形で答える。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 1$、$a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+1}$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。ただし、$a_n = 4 \cdot 5^{n-1} - 6^{n+1}$ の形で答える。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+1}$ を変形するために、$3^{n+1}$ で割ることを考えます。

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_n}{3^n} + \frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_n}{3^n} + \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}$

$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、

$b_{n+1} = b_n + \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}$

この漸化式から、$b_n$ の一般項を求めます。

$b_n = b_1 + \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{2}{3}\right)^k$

$b_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{1}{3}$ であるから、

$b_n = \frac{1}{3} + \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{2}{3}\right)^k$

等比数列の和の公式を利用して、

$\sum_{k=2}^{n} \left(\frac{2}{3}\right)^k = \frac{\frac{4}{9} \left( 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \right)}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{4}{9} \left( 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \right)}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3} \left( 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \right)$

したがって、

$b_n = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} \left( 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \right) = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - \frac{4}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = \frac{5}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} = \frac{5}{3} - \frac{4}{3^n} \cdot 2^{n-1}$

$b_n = \frac{5 \cdot 3^{n-1} - 4 \cdot 2^{n-1}}{3^n} \cdot 3 = \frac{5 \cdot 3^n - 2 \cdot 2^{n+1}}{3}$

$a_n = 3^n b_n = 3^n \left( \frac{5}{3} - \frac{2^{n+1}}{3^n}\right) = \frac{5}{3} \cdot 3^n - 4\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}3^n = 5 \cdot 3^{n-1} - \frac{4 \cdot 2^{n-1}}{3^{n-1}}$

$a_n = \frac{5}{3}3^n - 4 \cdot 2^{n-1}$

ここから $a_n = 4 \cdot 5^{n-1} - 6 \cdot 2^{n+1}$ の形に持っていくことは難しいです。元の漸化式を変形します。

$a_{n+1}+c2^{n+1}=3(a_n+c2^n)$となるcを求める。

$a_{n+1}=3a_n + 2^{n+1}$に代入して、$3a_n + 2^{n+1}+c2^{n+1}=3a_n+3c2^n$となる。

$2^{n+1}+c2^{n+1}=3c2^n$

$2+c=3c/2$, $4+2c=3c$, $c=4$.

$a_n+4*2^n$は、初項$a_1+4*2^1 = 1+8=9$, 公比3の等比数列なので、

$a_n+4*2^n = 9*3^{n-1}$

$a_n = 9*3^{n-1} - 4*2^n= 3^{n+1}-4*2^n =3 \cdot 3^n-4 \cdot 2^n$

$a_n = A \cdot 3^{n-1} - B \cdot 2^{n}$と仮定する．

$a_{1} = A - 2B= 1$である。

$a_{n}=9 \cdot 3^{n-1}-4 \cdot 2^{n}$, $a_{n}= 9 \cdot 3^{n-1}-2 \cdot 2^{n+1}$の形にしたい。

よって、$a_n= 9\cdot3^{n-1} - 4 \cdot 2^n$.

ゆえに、$4 =9 , 5 = 3 , 6 = 4$.

3. 最終的な答え

$a_n = 9 \cdot 3^{n-1} - 4 \cdot 2^{n}$