$a$ は正の定数である。2次関数 $y = x^2 - 6x + 4$ の $0 \le x \le a$ における最大値、最小値と、それらを与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数である。2次関数 $y = x^2 - 6x + 4$ の $0 \le x \le a$ における最大値、最小値と、それらを与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = x^2 - 6x + 4 = (x - 3)^2 - 9 + 4 = (x - 3)^2 - 5$

このグラフは下に凸の放物線であり、軸は $x = 3$ である。

定義域は $0 \le x \le a$ である。$a$ の値によって最大値と最小値を取る $x$ の値が変わるので、$a$ の範囲で場合分けを行う。

(i) $0 < a < 3$ のとき

最小値は $x = a$ で $y = a^2 - 6a + 4$ である。

最大値は $x = 0$ で $y = 4$ である。

(ii) $a = 3$ のとき

最小値は $x = 3$ で $y = -5$ である。

最大値は $x = 0$ で $y = 4$ である。

(iii) $a > 3$ のとき

最小値は $x = 3$ で $y = -5$ である。

$x=0$と$x=a$の$y$の値を比較する必要がある。

$y(0) = 4$

$y(a) = a^2 - 6a + 4$

$a^2 - 6a + 4 - 4 = a^2 - 6a = a(a - 6)$

(a) $3 < a < 6$ のとき、$a(a - 6) < 0$ なので、最大値は $x = 0$ で $y = 4$ である。

(b) $a = 6$ のとき、$a(a - 6) = 0$ なので、最大値は $x = 0$ または $x = 6$ で $y = 4$ である。

(c) $a > 6$ のとき、$a(a - 6) > 0$ なので、最大値は $x = a$ で $y = a^2 - 6a + 4$ である。

まとめると、以下のようになる。

(i) $0 < a < 3$ のとき

最小値: $x = a$ で $y = a^2 - 6a + 4$

最大値: $x = 0$ で $y = 4$

(ii) $a = 3$ のとき

最小値: $x = 3$ で $y = -5$

最大値: $x = 0$ で $y = 4$

(iii) $3 < a < 6$ のとき

最小値: $x = 3$ で $y = -5$

最大値: $x = 0$ で $y = 4$

(iv) $a = 6$ のとき

最小値: $x = 3$ で $y = -5$

最大値: $x = 0, 6$ で $y = 4$

(v) $a > 6$ のとき

最小値: $x = 3$ で $y = -5$

最大値: $x = a$ で $y = a^2 - 6a + 4$

3. 最終的な答え

(i) $0 < a < 3$ のとき

最大値: $x = 0$

最小値: $x = a$

(ii) $a = 3$ のとき

最大値: $x = 0$

最小値: $x = 3$

(iii) $3 < a < 6$ のとき

最大値: $x = 0$

最小値: $x = 3$

(iv) $a = 6$ のとき

最大値: $x = 0, 6$

最小値: $x = 3$

(v) $a > 6$ のとき

最大値: $x = a$

最小値: $x = 3$