与えられた分数の分母を有理化する問題です。問題の式は $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた分数の分母を有理化する問題です。問題の式は $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母の共役な複素数 $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ を分子と分母の両方に掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}$

分母を計算します。これは $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の形を利用します。

$(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

分子を計算します。

$\sqrt{2}(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = \sqrt{2}\sqrt{5} + \sqrt{2}\sqrt{3} = \sqrt{10} + \sqrt{6}$

したがって、式は次のようになります。

$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}$