$a = \sqrt{2}$ のとき、$\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ を $a$ を用いて表すとどれになるかを問う問題です。選択肢は以下の通りです。 (1) $a+2$ (2) $a-2$ (3) $1-a$ (4) $2-a$

1. 問題の内容

$a = \sqrt{2}$ のとき、$\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ を $a$ を用いて表すとどれになるかを問う問題です。選択肢は以下の通りです。

(1) $a+2$

(2) $a-2$

(3) $1-a$

(4) $2-a$

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}$ の分母を有理化します。分母と分子に $1 - \sqrt{2}$ を掛けます。

$$\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}$$

分母を展開すると、

$$(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}) = 1 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$$

分子を展開すると、

$$\sqrt{2}(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - (\sqrt{2})^2 = \sqrt{2} - 2$$

したがって、

$$\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 2}{-1} = 2 - \sqrt{2}$$

ここで、$a = \sqrt{2}$ なので、

$$2 - \sqrt{2} = 2 - a$$

3. 最終的な答え

$2 - a$

したがって、選択肢(4)が正解です。