与えられた式 $\frac{\sqrt{6}}{2-\sqrt{3}}$ を計算し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{\sqrt{6}}{2-\sqrt{3}}$ を計算し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化します。分母の共役な複素数である $2+\sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{6}}{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}$

分母を展開すると：

$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

分子を展開すると：

$\sqrt{6}(2+\sqrt{3}) = 2\sqrt{6} + \sqrt{6}\sqrt{3} = 2\sqrt{6} + \sqrt{18} = 2\sqrt{6} + \sqrt{9\times2} = 2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}$

したがって、

$\frac{\sqrt{6}}{2-\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{6} + 3\sqrt{2}$