37番では、対数の計算問題が4問あります。38番では、与えられた数の組を小さい順に並べる問題が2問あります。具体的には以下の通りです。 37. (1) $\log_5 20 + \log_5 100 - 2\log_5 4$ (2) $\log_2 \sqrt{2} + \log_2 \sqrt{10} - \log_2 \sqrt{5}$ (3) $\log_2 3 \cdot \log_3 8$ (4) $\log_4 18 - \log_4 54$ 38. (1) $\log_3 8$, $\log_3 12$, $2$ (2) $\log_{\frac{1}{6}} \frac{1}{6}$, $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$, $2$

1. 問題の内容

37番では、対数の計算問題が4問あります。38番では、与えられた数の組を小さい順に並べる問題が2問あります。具体的には以下の通りです。

3

7. (1) $\log_5 20 + \log_5 100 - 2\log_5 4$

(2) $\log_2 \sqrt{2} + \log_2 \sqrt{10} - \log_2 \sqrt{5}$

(3) $\log_2 3 \cdot \log_3 8$

(4) $\log_4 18 - \log_4 54$

3

8. (1) $\log_3 8$, $\log_3 12$, $2$

(2) $\log_{\frac{1}{6}} \frac{1}{6}$, $\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}$, $2$

2. 解き方の手順

3

7. (1) 対数の性質を利用して計算します。

$\log_5 20 + \log_5 100 - 2\log_5 4 = \log_5 20 + \log_5 100 - \log_5 4^2 = \log_5 20 + \log_5 100 - \log_5 16 = \log_5 \frac{20 \cdot 100}{16} = \log_5 \frac{2000}{16} = \log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$

(2) 対数の性質を利用して計算します。

$\log_2 \sqrt{2} + \log_2 \sqrt{10} - \log_2 \sqrt{5} = \log_2 \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \log_2 \frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \log_2 \sqrt{\frac{20}{5}} = \log_2 \sqrt{4} = \log_2 2 = 1$

(3) 底の変換公式を利用して計算します。

$\log_2 3 \cdot \log_3 8 = \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 8}{\log_2 3} = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$

(4) 対数の性質を利用して計算します。

$\log_4 18 - \log_4 54 = \log_4 \frac{18}{54} = \log_4 \frac{1}{3} = \log_4 3^{-1} = -\log_4 3$

ここで $4 = 2^2$ より $\log_4 3 = \frac{\log_2 3}{\log_2 4} = \frac{\log_2 3}{2}$

したがって、 $-\log_4 3 = -\frac{\log_2 3}{2}$

さらに、 $\log_4 \frac{1}{3} = \log_{2^2} \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \log_2 3^{-1} = -\frac{1}{2} \log_2 3$

もしくは、 $\log_4 (1/3) = \log_4 (4^{-x})$ より $(1/3) = (4^{-x})$ なので $3 = 4^x$, よって $x = \log_4 3$. 求める値は $-\log_4 3$

3

8. (1) 各数の値を比較します。

$2 = \log_3 3^2 = \log_3 9$

$\log_3 8 < \log_3 9 < \log_3 12$

したがって、$\log_3 8 < 2 < \log_3 12$

(2) 各数の値を比較します。

$\log_{\frac{1}{6}} \frac{1}{6} = 1$

$\log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1$

したがって、$\log_{\frac{1}{6}} \frac{1}{6} = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} = 1 < 2$

3. 最終的な答え

3

7. (1) 3

(2) 1

(3) 3

(4) $-\log_4 3$

3

8. (1) $\log_3 8 < 2 < \log_3 12$

(2) $\log_{\frac{1}{6}} \frac{1}{6} = \log_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3} < 2$