与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$

次に、この式を整理して因数分解する。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc = a^2b + a^2c + ab^2 + 2abc + ac^2 + b^2c + bc^2$

$= a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + bc(b+c)$

$= a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$(b+c)$ を共通因数としてくくり出す。

$a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c) = (b+c)(a^2 + a(b+c) + bc)$

$= (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

次に、$a^2 + ab + ac + bc$ を因数分解する。

$a^2 + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$

したがって、

$(b+c)(a^2 + ab + ac + bc) = (b+c)(a+b)(a+c)$

$= (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$