与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 3abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 3abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: 式を展開します。

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

ステップ2: 式を整理します。

$a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc$

ステップ3: 因数分解しやすいように式を並び替えます。

$a^2b + a^2c + abc + ab^2 + b^2c + abc + ac^2 + bc^2 + abc$

ステップ4: 式を因数分解します。$a$ について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2+c^2+3bc) + bc(b+c)$

$=a^2(b+c) + a(b^2+2bc+c^2+bc) + bc(b+c)$

$=a^2(b+c) + a((b+c)^2+bc) + bc(b+c)$

$=a^2(b+c) + ab^2 + abc + ac^2 + abc + b^2c + bc^2 +abc$

$= a^2(b+c) + ab(b+c) + ac(b+c) + bc(b+c)$

$=(a+b)(a+c)(b+c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$