$3a + 2b + c = 12$ を満たす自然数 $a, b, c$ の組 $(a, b, c)$ の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

$3a + 2b + c = 12$ を満たす自然数 $a, b, c$ の組 $(a, b, c)$ の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

$a, b, c$ は自然数なので、$a \geq 1$, $b \geq 1$, $c \geq 1$ です。

$a' = a - 1, b' = b - 1, c' = c - 1$ とすると、$a', b', c' \geq 0$ となります。

与式に代入すると、

$3(a' + 1) + 2(b' + 1) + (c' + 1) = 12$

$3a' + 3 + 2b' + 2 + c' + 1 = 12$

$3a' + 2b' + c' = 6$ となります。ここで、$a', b', c'$ は非負整数です。

まず、$a'$ の値を固定して考えます。

$a' = 0$ のとき、$2b' + c' = 6$ となります。

$b'$ のとりうる値は、$0, 1, 2, 3$ であり、それぞれに対応する $c'$ の値は $6, 4, 2, 0$ となります。

したがって、$a' = 0$ のとき、4組の解があります。

$a' = 1$ のとき、$2b' + c' = 3$ となります。

$b'$ のとりうる値は、$0, 1$ であり、それぞれに対応する $c'$ の値は $3, 1$ となります。

したがって、$a' = 1$ のとき、2組の解があります。

$a' = 2$ のとき、$2b' + c' = 0$ となります。

$b'$ のとりうる値は $0$ であり、対応する $c'$ の値は $0$ となります。

したがって、$a' = 2$ のとき、1組の解があります。

$a' \geq 3$ のとき、$3a' \geq 9 > 6$ となり、$3a' + 2b' + c' = 6$ を満たすことはできません。

したがって、解の組の数は $4 + 2 + 1 = 7$ となります。

3. 最終的な答え

7個