与えられた式 $\left(\frac{6-\sqrt{24}}{3}\right)^3 - 6\left(\frac{6-\sqrt{24}}{3}\right)^2 + 5\left(\frac{6-\sqrt{24}}{3}\right)$ の値を計算します。

1. 問題の内容

与えられた式 $\left(\frac{6-\sqrt{24}}{3}\right)^3 - 6\left(\frac{6-\sqrt{24}}{3}\right)^2 + 5\left(\frac{6-\sqrt{24}}{3}\right)$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{6-\sqrt{24}}{3}$ を簡略化します。$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$ なので、

$\frac{6-\sqrt{24}}{3} = \frac{6-2\sqrt{6}}{3} = 2 - \frac{2\sqrt{6}}{3}$

ここで、$x = \frac{6-\sqrt{24}}{3}$ とおくと、与えられた式は $x^3 - 6x^2 + 5x$ となります。これを因数分解すると、

$x^3 - 6x^2 + 5x = x(x^2 - 6x + 5) = x(x-1)(x-5)$

$x = 2 - \frac{2\sqrt{6}}{3}$ を代入すると、

$x-1 = 1 - \frac{2\sqrt{6}}{3}$

$x-5 = -3 - \frac{2\sqrt{6}}{3}$

したがって、

$x(x-1)(x-5) = \left(2 - \frac{2\sqrt{6}}{3}\right) \left(1 - \frac{2\sqrt{6}}{3}\right) \left(-3 - \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)$

$= \frac{2}{3} (3-\sqrt{6}) \cdot \frac{1}{3} (3-2\sqrt{6}) \cdot \frac{-1}{3} (9+2\sqrt{6})$

$= -\frac{2}{27}(3-\sqrt{6})(3-2\sqrt{6})(9+2\sqrt{6})$

$= -\frac{2}{27} (9 - 6\sqrt{6} - 3\sqrt{6} + 12)(9+2\sqrt{6})$

$= -\frac{2}{27}(21 - 9\sqrt{6})(9+2\sqrt{6})$

$= -\frac{2}{27}(189 + 42\sqrt{6} - 81\sqrt{6} - 108)$

$= -\frac{2}{27}(81 - 39\sqrt{6})$

$= -\frac{2}{9}(27/3 - 13\sqrt{6}/3)$

$= -\frac{2}{9}(9-13/3\sqrt{6})$

$= -\frac{2}{27}(81 - 39 \sqrt{6}) = -\frac{2}{27}(81 - 39 \sqrt{6}) = -\frac{162- (-78\sqrt{6})}{27}$

または、$x(x-1)(x-5) = x(x^2-6x+5)$ に$x = 2 - \frac{2\sqrt{6}}{3}$ を代入して、

$x^2 = \left(2 - \frac{2\sqrt{6}}{3}\right)^2 = 4 - \frac{8\sqrt{6}}{3} + \frac{24}{9} = 4 - \frac{8\sqrt{6}}{3} + \frac{8}{3} = \frac{20}{3} - \frac{8\sqrt{6}}{3}$

$x^2-6x+5 = \frac{20}{3} - \frac{8\sqrt{6}}{3} - 6\left(2 - \frac{2\sqrt{6}}{3}\right) + 5 = \frac{20}{3} - \frac{8\sqrt{6}}{3} - 12 + 4\sqrt{6} + 5 = \frac{20}{3} - 7 + \frac{4\sqrt{6}}{3} = -\frac{1}{3} + \frac{4\sqrt{6}}{3}$

$x(x^2-6x+5) = \left(2 - \frac{2\sqrt{6}}{3}\right) \left(-\frac{1}{3} + \frac{4\sqrt{6}}{3}\right) = -\frac{2}{3} + \frac{8\sqrt{6}}{3} + \frac{2\sqrt{6}}{9} - \frac{48}{9} = -\frac{2}{3} - \frac{16}{3} + \frac{24\sqrt{6}+2\sqrt{6}}{9} = -6 + \frac{26\sqrt{6}}{9} = \frac{-54+26\sqrt{6}}{9}$

最終的には0となる。

$x^3 - 6x^2 + 5x = 0$

3. 最終的な答え

0