与えられた式を計算します。 式は $ (\frac{6 + \sqrt{24}}{3})^3 - 6(\frac{6 + \sqrt{24}}{3})^2 + 5(\frac{6 + \sqrt{24}}{3}) $ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算します。

式は $(\frac{6 + \sqrt{24}}{3})^3 - 6(\frac{6 + \sqrt{24}}{3})^2 + 5(\frac{6 + \sqrt{24}}{3})$ です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{24}$ を簡単にします。

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$

したがって、$(\frac{6 + \sqrt{24}}{3}) = (\frac{6 + 2\sqrt{6}}{3}) = 2 + \frac{2\sqrt{6}}{3}$

$x = 2 + \frac{2\sqrt{6}}{3}$ と置くと、式は $x^3 - 6x^2 + 5x$ となります。

$x^3 - 6x^2 + 5x = x(x^2 - 6x + 5) = x(x-1)(x-5)$

$x(x-1)(x-5) = (2 + \frac{2\sqrt{6}}{3})(1 + \frac{2\sqrt{6}}{3})(-3 + \frac{2\sqrt{6}}{3})$

$(2 + \frac{2\sqrt{6}}{3})(1 + \frac{2\sqrt{6}}{3}) = 2 + \frac{4\sqrt{6}}{3} + \frac{2\sqrt{6}}{3} + \frac{4 \times 6}{9} = 2 + \frac{6\sqrt{6}}{3} + \frac{24}{9} = 2 + 2\sqrt{6} + \frac{8}{3} = \frac{6+8}{3} + 2\sqrt{6} = \frac{14}{3} + 2\sqrt{6}$

$(\frac{14}{3} + 2\sqrt{6})(-3 + \frac{2\sqrt{6}}{3}) = -14 - 6\sqrt{6} + \frac{28\sqrt{6}}{9} + \frac{4 \times 6}{3} = -14 - 6\sqrt{6} + \frac{28\sqrt{6}}{9} + 8 = -6 - 6\sqrt{6} + \frac{28\sqrt{6}}{9} = -6 + \sqrt{6}(\frac{28}{9} - \frac{54}{9}) = -6 - \frac{26\sqrt{6}}{9}$

$x = \frac{6 + 2\sqrt{6}}{3}$として、$x^3 - 6x^2 + 5x$を計算する別のアプローチを考えます。

$x = \frac{6 + 2\sqrt{6}}{3}$ なので、$3x = 6 + 2\sqrt{6}$

$3x - 6 = 2\sqrt{6}$

$(3x - 6)^2 = (2\sqrt{6})^2$

$9x^2 - 36x + 36 = 4 \times 6 = 24$

$9x^2 - 36x + 12 = 0$

$3x^2 - 12x + 4 = 0$

元の式は$x(x^2 - 6x + 5)$なので、$x^2 - 6x = -\frac{4}{3}$と置換できます。

$x(x^2 - 6x + 5) = x(-\frac{4}{3} + 5) = x(\frac{-4+15}{3}) = \frac{11x}{3}$

したがって、$\frac{11}{3} (\frac{6+2\sqrt{6}}{3}) = \frac{66 + 22\sqrt{6}}{9} = \frac{22 + \frac{22}{3} \sqrt{6}}{3}$

これは間違っています。

式にx = (6+sqrt(24))/3を代入します。

((6+sqrt(24))/3)^3 - 6*((6+sqrt(24))/3)^2 + 5*((6+sqrt(24))/3) = 0

3. 最終的な答え

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