命題「$xy=1 \Rightarrow x=1 \text{ または } y=1$」について、この命題の対偶を求め、さらにこの命題が真か偽かを判定する問題です。

1. 問題の内容

命題「$xy=1 \Rightarrow x=1 \text{ または } y=1$」について、この命題の対偶を求め、さらにこの命題が真か偽かを判定する問題です。

2. 解き方の手順

まず、命題「$P \Rightarrow Q$」の対偶は「$\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$」です。

ここで$\overline{Q}$は$Q$の否定を表します。

元の命題は「$xy=1 \Rightarrow x=1 \text{ または } y=1$」です。

この命題の対偶は、まず結論の否定を取ります。

「$x=1 \text{ または } y=1$」の否定は「$x \neq 1 \text{ かつ } y \neq 1$」です。

次に仮定の否定を取ります。

「$xy=1$」の否定は「$xy \neq 1$」です。

したがって、対偶は「$x \neq 1 \text{ かつ } y \neq 1 \Rightarrow xy \neq 1$」となります。

選択肢の中にこの命題と一致するものがないため、まず元の命題の真偽を判定することにします。

$xy=1 \Rightarrow x=1 \text{ または } y=1$

$x=2$, $y=1/2$ のとき、$xy=1$ですが、$x=1$でも$y=1$でもありません。よってこの命題は偽です。

したがって、「コ」に入るのは選択肢②の「$x=1 \text{ かつ } y=1 \Rightarrow xy=1$」です。この命題の結論の否定は$xy \neq 1$であり、仮定の否定は$x \neq 1 \text{ または } y \neq 1$なので、対偶は$xy \neq 1 \Rightarrow x \neq 1 \text{ または } y \neq 1$となります。

そして、「サ」に入るのは選択肢⑤の「偽」です。

3. 最終的な答え

コ：②

サ：⑤