円 $x^2 + y^2 = 4$ をCとし、直線 $y = a(x - 4)$ を $l$ とする。 (1) Cと $l$ が共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。 (2) $l$ がCと2点で交わるとき、その2つの交点の中点をPとする。また、$l$ がCと接するとき、その接点をPとする。このとき、点Pがある曲線を求める。 (3) $a$ が (1) で求めた範囲を動くとき、(2) で定めた点Pが描く曲線の長さを求める。

はい、数学の問題ですね。解いていきましょう。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ をCとし、直線 $y = a(x - 4)$ を $l$ とする。

(1) Cと $l$ が共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。

(2) $l$ がCと2点で交わるとき、その2つの交点の中点をPとする。また、$l$ がCと接するとき、その接点をPとする。このとき、点Pがある曲線を求める。

(3) $a$ が (1) で求めた範囲を動くとき、(2) で定めた点Pが描く曲線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 C の中心(0,0)と直線 $l: ax - y - 4a = 0$ との距離 d が、円の半径2以下であれば良い。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|a(0) - (0) - 4a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{4|a|}{\sqrt{a^2 + 1}} \le 2$

両辺を2で割って2乗すると、

$\frac{4a^2}{a^2 + 1} \le 1$

$4a^2 \le a^2 + 1$

$3a^2 \le 1$

$a^2 \le \frac{1}{3}$

$-\frac{1}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{1}{\sqrt{3}}$

(2)

$l$ がCと2点で交わるとき、その2つの交点の中点 $P(x, y)$ は、線分OPが直線lと垂直になる。

OPの傾きは $\frac{y}{x}$ であり、$l$ の傾きは $a$ であるから、

$\frac{y}{x} \cdot a = -1$

$a = -\frac{x}{y}$

これを $y = a(x - 4)$ に代入すると、

$y = -\frac{x}{y}(x - 4)$

$y^2 = -x^2 + 4x$

$x^2 - 4x + y^2 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

これは、中心(2, 0)、半径2の円である。

また、$l$が$C$と接するときも同様に考えることができる。

したがって、点Pは、$(x - 2)^2 + y^2 = 4$を満たす。ここで原点に点Pがくることはない。

よって、$\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1$

(3) (1)より、$-\frac{1}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{1}{\sqrt{3}}$である。

また、$a = -\frac{x}{y}$より、$-\frac{1}{\sqrt{3}} \le -\frac{x}{y} \le \frac{1}{\sqrt{3}}$である。

(2)より、Pは、中心(2,0)半径2の円周上を動くので、$x=2+2\cos\theta$, $y=2\sin\theta$とおける。

$a=-\frac{x}{y} = -\frac{2+2\cos\theta}{2\sin\theta}=-\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$

$-\frac{1}{\sqrt{3}}\le -\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}\le \frac{1}{\sqrt{3}}$

$x=2+2\cos\theta$について解くと、$\cos\theta = \frac{x-2}{2}$

また、$x^2+y^2=4$より、

範囲は、$-\frac{1}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{1}{\sqrt{3}}$ であることから、

$x=2+2\cos\theta$より，$a=-\frac{x}{y}$だから、

$l$が、円$C$と共有点をもつ範囲を考える。

$l: y = a(x-4)$が、原点を通らないことを考えると、$x=0$にならないことを考えると、

点Pが描く曲線の長さは、円$(x-2)^2+y^2=4$の一部。

$-\frac{1}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{1}{\sqrt{3}}$より$\theta$の範囲を出す。

$\theta = \frac{5}{6}\pi$から$\frac{7}{6}\pi$までの角の円弧なので、その長さは、$2 \times \frac{2}{6}\pi = \frac{4}{3}\pi$。

$x=4のとき$y=0$。a=

0. $\theta=\pi$.

$\frac{4}{3}\pi - (-\frac{4}{3}\pi)= \frac{8}{3}\pi$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) $\frac{(x-2)^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1$

(3) $\frac{4}{3}\pi$