円 $x^2 + y^2 = 4$ を $C$ とし、直線 $y = a(x-4)$ を $l$ とする。 (1) $C$ と $l$ が共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。 (2) $l$ が $C$ と2点で交わるとき、その2つの交点の中点を $P$ とする。また、$l$ が $C$ と接するとき、その接点を $P$ とする。このとき、点 $P$ が描く曲線を求める。 (3) $a$ が(1)で求めた範囲を動くとき、(2)で定めた点 $P$ が描く曲線の長さを求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ を $C$ とし、直線 $y = a(x-4)$ を $l$ とする。

(1) $C$ と $l$ が共有点を持つような $a$ の値の範囲を求める。

(2) $l$ が $C$ と2点で交わるとき、その2つの交点の中点を $P$ とする。また、$l$ が $C$ と接するとき、その接点を $P$ とする。このとき、点 $P$ が描く曲線を求める。

(3) $a$ が(1)で求めた範囲を動くとき、(2)で定めた点 $P$ が描く曲線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 円 $C: x^2 + y^2 = 4$ と直線 $l: y = a(x-4)$ が共有点を持つ条件を求める。

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $l: ax - y - 4a = 0$ との距離 $d$ が、円の半径 $r = 2$ 以下であれば良い。

$d = \frac{|a \cdot 0 - 0 - 4a|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4a|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{4|a|}{\sqrt{a^2 + 1}}$

$d \le r$ より、 $\frac{4|a|}{\sqrt{a^2 + 1}} \le 2$

両辺を2で割ると $\frac{2|a|}{\sqrt{a^2 + 1}} \le 1$

両辺を2乗すると $\frac{4a^2}{a^2 + 1} \le 1$

両辺に $a^2 + 1$ をかけると $4a^2 \le a^2 + 1$

$3a^2 \le 1$

$a^2 \le \frac{1}{3}$

$-\frac{1}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{1}{\sqrt{3}}$

したがって $-\frac{\sqrt{3}}{3} \le a \le \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $l$ が $C$ と2点で交わるとき、その2つの交点の中点を $P(x, y)$ とする。また、$l$ が $C$ と接するとき、その接点を $P$ とする。

直線 $l: y = a(x-4)$ より $a = \frac{y}{x-4}$

これを $x^2 + y^2 = 4$ に代入すると複雑になる。

$y = a(x-4)$ より $ax - y - 4a = 0$ であり、円の中心 $(0, 0)$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足が中点 $P(x, y)$ となる。

よって、$(0, 0)$ と $(x, y)$ を結ぶ直線 $y = kx$ と $l: ax - y - 4a = 0$ は直交する。

$y = kx$ の傾き $k$ は、$l$ の傾き $a$ に対して $k = -\frac{1}{a}$ である。

よって、$y = -\frac{1}{a}x$ より $a = -\frac{x}{y}$

これを $l: y = a(x-4)$ に代入すると、$y = -\frac{x}{y}(x-4)$

$y^2 = -x^2 + 4x$

$x^2 - 4x + y^2 = 0$

$(x-2)^2 + y^2 = 4$

$x = 4$ のとき $l$ は $x=4$ より、$x = 4$ のとき $y=0$。これは $(2,0)$ から傾きが $-\frac{x}{y}$ で表されるので、 $x=0, y=0$ を通る直線とは直交しない。

よって、$P$ は $(x-2)^2 + y^2 = 4$ 上の点であるが、$l$ と $C$ が接する点または2点で交わる点は $(x-2)^2 + y^2 = 4$ の一部である。

$(x-2)^2 + y^2 = 4$ について，$x^2 + y^2 = 4$ なので、 $(x-2)^2 + y^2 = 4$ に代入して、$x^2-4x+4+y^2=4$より、$x^2+y^2-4x=0$

$4-4x=0$より、$x=1$。よって、$1+y^2=4$より、$y^2=3$, $y=\pm\sqrt{3}$。つまり交点は$(1, \pm\sqrt{3})$。

ここで、$a = \frac{y}{x-4}$ に $(1, \sqrt{3})$ を代入すると $a = \frac{\sqrt{3}}{-3} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

$(1, -\sqrt{3})$ を代入すると $a = \frac{-\sqrt{3}}{-3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

よって、点 $P$ は $(x-2)^2 + y^2 = 4$ で、 $(x-2)^2 + \frac{y^2}{1} = 4$ より、$\frac{(x-2)^2}{4}+ \frac{y^2}{4} = 1$ で表される。

(3) $a$ が $-\frac{\sqrt{3}}{3} \le a \le \frac{\sqrt{3}}{3}$ を動くとき、(2) で定めた点 $P$ が描く曲線の長さを求める。

$(x-2)^2 + y^2 = 4$ は中心 $(2, 0)$, 半径 $2$ の円である。

$a = \frac{y}{x-4}$ に $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ を代入すると $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{y}{x-4}$ より $y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x-4)$

$x = 1$ のとき $y = -\sqrt{3}$ で、$\frac{\sqrt{3}}{3}$ は $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ に対応。

$a = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき $y = \frac{\sqrt{3}}{3}(x-4)$ より $y = \frac{\sqrt{3}}{3} (1-4) = \sqrt{3}$ 。

したがって、円弧 $(1, -\sqrt{3})$ から $(1, \sqrt{3})$ までを考える。

角度 $\theta$ は、$(x-2)^2 + y^2 = 4$ であり、

$x = 1$ を代入すると $(1-2)^2 + y^2 = 4$ より $y^2 = 3$。

$(x, y) = (2+2cos\theta, 2sin\theta)$ とおく。

$(1, \sqrt{3})$ より $1 = 2+2cos\theta$, $\sqrt{3} = 2sin\theta$

$cos\theta = -\frac{1}{2}$, $sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta = \frac{2\pi}{3}$

$(1, -\sqrt{3})$ より $1 = 2+2cos\theta$, $-\sqrt{3} = 2sin\theta$

$cos\theta = -\frac{1}{2}$, $sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta = \frac{4\pi}{3}$

円弧の長さは $r\theta = 2(\frac{4\pi}{3} - \frac{2\pi}{3}) = 2(\frac{2\pi}{3}) = \frac{4\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\sqrt{3}}{3} \le a \le \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1$

(3) $\frac{4}{3} \pi$