関数 $y = -\frac{2}{3}x^2$ において、$x$ の変域が $-1 \le x < 2$ のときの $y$ の変域を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{2}{3}x^2$ において、$x$ の変域が $-1 \le x < 2$ のときの $y$ の変域を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数は $y = -\frac{2}{3}x^2$ です。これは上に凸な放物線です。

$x$ の変域が $-1 \le x < 2$ なので、この範囲における $y$ の最大値と最小値を求める必要があります。

上に凸な放物線なので、変域に $x=0$ が含まれている場合、$y$ の最大値は $x=0$ のときになります。

$x = 0$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(0)^2 = 0$ です。

次に、変域の端点における $y$ の値を計算します。

$x = -1$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(-1)^2 = -\frac{2}{3}$ です。

$x = 2$ のとき、$y = -\frac{2}{3}(2)^2 = -\frac{8}{3}$ です。

したがって、$y$ の最大値は $0$ であり、$y$ の最小値は $-\frac{8}{3}$ です。

$x$ の変域に $x=2$ が含まれていないため、$y$ の変域も $y > -\frac{8}{3}$ となります。

したがって、$y$ の変域は $-\frac{8}{3} < y \le 0$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{8}{3} < y \le 0$