関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となる。このとき、$a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ において、$x$ の変域が $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となる。このとき、$a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

* $x$ の変域に $0$ が含まれているので、$y$ の最小値は $0$ となる。

* $y$ の最大値が $12$ であることから、x が $-2$ または $\frac{1}{2}$ のときに $y = 12$ となる。

* $x=-2$ のとき、$y = a(-2)^2 = 4a$ となる。

* $x=\frac{1}{2}$ のとき、$y = a(\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}a$ となる。

$x$ の変域 $-2 \le x \le \frac{1}{2}$ に対して $y$ の変域が $0 \le y \le 12$ となる条件を満たすためには、絶対値が大きい方の $x$ の値に対応する $y$ の値が $y$ の最大値 $12$ になる必要がある。

$|-2| = 2$ であり、 $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$ であるから、$x=-2$ のとき $y=12$ となる。

よって、$4a = 12$。

両辺を4で割ると、

$a = \frac{12}{4} = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3$