関数 $y = ax^2$ のグラフ上に2点A, Bがある。点Aの座標は$(-2, 2)$であり、点Bのx座標は4である。以下の問いに答える。 (1) $a$の値を求めよ。 (2) 点Bの座標を求めよ。 (3) 2点A, Bを通る直線の式を求めよ。 (4) $\triangle OAB$の面積を求めよ。ただし、座標の1目盛りを1cmとする。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、丁寧に解答します。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ のグラフ上に2点A, Bがある。点Aの座標は$(-2, 2)$であり、点Bのx座標は4である。以下の問いに答える。

(1) $a$の値を求めよ。

(2) 点Bの座標を求めよ。

(3) 2点A, Bを通る直線の式を求めよ。

(4) $\triangle OAB$の面積を求めよ。ただし、座標の1目盛りを1cmとする。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標 $(-2, 2)$ が $y = ax^2$ 上にあるので、この座標を代入して$a$を求める。

$2 = a(-2)^2$

$2 = 4a$

$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) 点Bのx座標が4なので、$y = \frac{1}{2}x^2$ に $x = 4$ を代入してy座標を求める。

$y = \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{1}{2}(16) = 8$

よって、点Bの座標は $(4, 8)$

(3) 2点A$(-2, 2)$、B$(4, 8)$を通る直線の式を求める。まず、直線の傾きを求める。

傾き = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{4 - (-2)} = \frac{6}{6} = 1$

よって、直線の式は$y = x + b$ と表せる。点A $(-2, 2)$を代入して、$b$ を求める。

$2 = -2 + b$

$b = 4$

よって、直線の式は $y = x + 4$

(4) $\triangle OAB$ の面積を求める。

直線ABの方程式は $y = x + 4$。この式から、点 (0,4) が直線ABとy軸との交点であることがわかる。この点をCとする。

$\triangle OAB$の面積は、$\triangle OAC$と$\triangle OBC$の面積の和として求めることができる。

$\triangle OAC$の面積 = $\frac{1}{2} \times OC \times |x_A|$ = $\frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$

$\triangle OBC$の面積 = $\frac{1}{2} \times OC \times x_B$ = $\frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$

$\triangle OAB$の面積 = $\triangle OAC$の面積 + $\triangle OBC$の面積 = $4 + 8 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) B(4, 8)

(3) $y = x + 4$

(4) $\triangle OAB = 12 \ cm^2$