座標空間内に3点 $A(a, 0, 0)$、$B(0, b, 0)$、$C(0, 0, c)$ がある。ただし、$a > 0$、$b > 0$、$c > 0$ とする。これらの3点を通る平面を $\pi$ とする。 (1) $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} + u\overrightarrow{OC}$ とする。点$P$が平面$\pi$上にあり、$\overrightarrow{OP}$が平面$\pi$と垂直になるように、実数 $s$、$t$、$u$ の値を $a$、$b$、$c$ を用いて表す。 (2) 線分 $AB$ の中点を $M$ とし、点 $Q$ は $\overrightarrow{CQ} = r\overrightarrow{CM}$ を満たす点であるとする。ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ の大きさ $|\overrightarrow{OQ}|$ を最小にする実数 $r$ の値と、そのときの $|\overrightarrow{OQ}|$ の値を、$a$、$b$、$c$ を用いて表す。 (3) $\triangle OAB$、$\triangle OBC$、$\triangle OCA$ の面積をそれぞれ $S_1$、$S_2$、$S_3$ とするとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を $S_1$、$S_2$、$S_3$ を用いて表す。

1. 問題の内容

座標空間内に3点 $A(a, 0, 0)$、$B(0, b, 0)$、$C(0, 0, c)$ がある。ただし、$a > 0$、$b > 0$、$c > 0$ とする。これらの3点を通る平面を $\pi$ とする。

(1) $\overrightarrow{OP} = s\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} + u\overrightarrow{OC}$ とする。点$P$が平面$\pi$上にあり、$\overrightarrow{OP}$が平面$\pi$と垂直になるように、実数 $s$、$t$、$u$ の値を $a$、$b$、$c$ を用いて表す。

(2) 線分 $AB$ の中点を $M$ とし、点 $Q$ は $\overrightarrow{CQ} = r\overrightarrow{CM}$ を満たす点であるとする。ベクトル $\overrightarrow{OQ}$ の大きさ $|\overrightarrow{OQ}|$ を最小にする実数 $r$ の値と、そのときの $|\overrightarrow{OQ}|$ の値を、$a$、$b$、$c$ を用いて表す。

(3) $\triangle OAB$、$\triangle OBC$、$\triangle OCA$ の面積をそれぞれ $S_1$、$S_2$、$S_3$ とするとき、$\triangle ABC$ の面積 $S$ を $S_1$、$S_2$、$S_3$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 点 $P$ が平面 $\pi$ 上にある条件は $s + t + u = 1$ である。また、$\overrightarrow{OP}$ が平面 $\pi$ に垂直である条件は、$\overrightarrow{OP}$ が $\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}$ および $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$ の両方に垂直であることである。

$\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB}) = 0$

$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} = 0$

$s a^2 - t b^2 = 0$

$t = \frac{a^2}{b^2} s$

$\overrightarrow{OP} \cdot (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) = 0$

$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OC} = 0$

$t b^2 - u c^2 = 0$

$u = \frac{b^2}{c^2} t = \frac{a^2}{c^2} s$

$s + t + u = 1$

$s + \frac{a^2}{b^2} s + \frac{a^2}{c^2} s = 1$

$s(1 + \frac{a^2}{b^2} + \frac{a^2}{c^2}) = 1$

$s = \frac{1}{1 + \frac{a^2}{b^2} + \frac{a^2}{c^2}} = \frac{b^2 c^2}{a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2}$

$t = \frac{a^2}{b^2} s = \frac{c^2 a^2}{a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2}$

$u = \frac{a^2}{c^2} s = \frac{a^2 b^2}{a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2}$

(2) $\overrightarrow{OM} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0)$

$\overrightarrow{OC} = (0, 0, c)$

$\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OC} = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, -c)$

$\overrightarrow{CQ} = r\overrightarrow{CM} = (\frac{ra}{2}, \frac{rb}{2}, -rc)$

$\overrightarrow{OQ} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CQ} = (\frac{ra}{2}, \frac{rb}{2}, c - rc)$

$|\overrightarrow{OQ}|^2 = (\frac{ra}{2})^2 + (\frac{rb}{2})^2 + (c-rc)^2 = \frac{r^2 a^2}{4} + \frac{r^2 b^2}{4} + c^2 - 2rc^2 + r^2 c^2 = (\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + c^2)r^2 - 2c^2 r + c^2$

$f(r) = (\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + c^2)r^2 - 2c^2 r + c^2$ を最小化する $r$ を求める。

$f'(r) = 2(\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + c^2)r - 2c^2 = 0$

$r = \frac{c^2}{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + c^2} = \frac{4c^2}{a^2 + b^2 + 4c^2}$

$|\overrightarrow{OQ}|^2 = (\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} + c^2)(\frac{4c^2}{a^2 + b^2 + 4c^2})^2 - 2c^2 \frac{4c^2}{a^2 + b^2 + 4c^2} + c^2 = \frac{4c^4}{a^2 + b^2 + 4c^2} - \frac{8c^4}{a^2 + b^2 + 4c^2} + \frac{c^2 (a^2 + b^2 + 4c^2)}{a^2 + b^2 + 4c^2} = \frac{-4c^4 + a^2 c^2 + b^2 c^2 + 4c^4}{a^2 + b^2 + 4c^2} = \frac{c^2(a^2 + b^2)}{a^2 + b^2 + 4c^2}$

$|\overrightarrow{OQ}| = \frac{c\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + 4c^2}}$

(3) $S_1 = \frac{1}{2}ab$、$S_2 = \frac{1}{2}bc$、$S_3 = \frac{1}{2}ca$

$\overrightarrow{AB} = (-a, b, 0)$、$\overrightarrow{AC} = (-a, 0, c)$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (bc, ac, ab)$

$S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{(bc)^2 + (ac)^2 + (ab)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{b^2 c^2 + a^2 c^2 + a^2 b^2} = \sqrt{S_2^2 + S_3^2 + S_1^2}$

3. 最終的な答え

(1) $s = \frac{b^2 c^2}{a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2}$、$t = \frac{c^2 a^2}{a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2}$、$u = \frac{a^2 b^2}{a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2}$

(2) $r = \frac{4c^2}{a^2 + b^2 + 4c^2}$、$|\overrightarrow{OQ}| = \frac{c\sqrt{a^2 + b^2}}{\sqrt{a^2 + b^2 + 4c^2}}$

(3) $S = \sqrt{S_1^2 + S_2^2 + S_3^2}$