与えられた数学の式を計算する問題です。具体的には、根号を含む式、指数を含む式、およびこれらの混合した式の計算を行います。

1. 問題の内容

与えられた数学の式を計算する問題です。具体的には、根号を含む式、指数を含む式、およびこれらの混合した式の計算を行います。

2. 解き方の手順

それぞれの問題について、以下の手順で計算します。

4. (1) $\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{8}$

根号の中身をまとめます。$\sqrt[4]{2} \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16}$

16は$2^4$なので、$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$

4. (2) $\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{3}}$

根号の中身をまとめます。$\frac{\sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\frac{12}{3}} = \sqrt[3]{4}$

4. (3) $(\sqrt[4]{5})^3$

$(\sqrt[4]{5})^3 = \sqrt[4]{5^3} = \sqrt[4]{125}$

4. (4) $\sqrt[3]{\sqrt{27}}$

$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt[3]{\sqrt{27}} = \sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3^{3/2}} = (3^{3/2})^{1/3} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$

5. (1) $9^{\frac{1}{2}}$

$9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$

5. (2) $16^{\frac{3}{4}}$

$16^{\frac{3}{4}} = (16^{\frac{1}{4}})^3 = (\sqrt[4]{16})^3 = 2^3 = 8$

5. (3) $125^{-\frac{2}{3}}$

$125^{-\frac{2}{3}} = (125^{\frac{1}{3}})^{-2} = (\sqrt[3]{125})^{-2} = 5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$

6. (1) $8^{\frac{1}{2}} \times 8^{\frac{1}{3}} \div 8^{\frac{1}{6}}$

指数の法則を利用します。

$8^{\frac{1}{2}} \times 8^{\frac{1}{3}} \div 8^{\frac{1}{6}} = 8^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = 8^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6}} = 8^{\frac{4}{6}} = 8^{\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^2 = 2^2 = 4$

6. (2) $\sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{2}$

指数の形で表します。

$\sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} \times \sqrt[6]{2} = 2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}} = 2^{\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6}} = 2^{\frac{6}{6}} = 2^1 = 2$

3. 最終的な答え

4. (1) 2

4. (2) $\sqrt[3]{4}$

4. (3) $\sqrt[4]{125}$

4. (4) $\sqrt{3}$

5. (1) 3

5. (2) 8

5. (3) $\frac{1}{25}$

6. (1) 4

6. (2) 2