数列 3, 3, 6, 6, 6, 6, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, ... の第 120 項までの総和を求めます。

1. 問題の内容

数列 3, 3, 6, 6, 6, 6, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, ... の第 120 項までの総和を求めます。

2. 解き方の手順

数列は、3 が 2 個、6 が 4 個、9 が 6 個、12 が 8 個...と続いています。一般に、3n が 2n 個並んでいる数列とみなせます。

まず、第 120 項がどの数かを見つけるために、それぞれの数が何個ずつ並んでいるかを考えます。

各数の個数を足し上げていき、その合計が 120 を超えない最大の n を見つけます。

2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1)

$n(n+1) \le 120$ を満たす最大の n を探します。

n = 10 のとき、n(n+1) = 10 * 11 = 110

n = 11 のとき、n(n+1) = 11 * 12 = 132

よって、$n = 10$ であり、3 * 10 = 30 までの項の個数は 110 個です。

したがって、第 120 項は 3 * 11 = 33 です。33 は 120 - 110 = 10 個並んでいます。

次に、第 120 項までの総和を計算します。

$\sum_{k=1}^{10} 3k \times 2k = \sum_{k=1}^{10} 6k^2 = 6 \sum_{k=1}^{10} k^2$

$\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10(10+1)(2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$

$6 \times 385 = 2310$

したがって、最初の 110 項の和は 2310 です。

残り 10 項はすべて 33 なので、その和は $10 \times 33 = 330$ です。

したがって、第 120 項までの総和は $2310 + 330 = 2640$ です。

3. 最終的な答え

2640