長さ1.0mの軽い棒の両端AとBにそれぞれ3.0kgと2.0kgのおもりをつるし、点Oにばね定数250N/mのつるまきばねをつけてつるしたところ、棒は水平になって静止しました。AOの長さはいくらかを求めます。ただし、重力加速度の大きさ $g=9.8 \ m/s^2$ とします。

1. 問題の内容

長さ1.0mの軽い棒の両端AとBにそれぞれ3.0kgと2.0kgのおもりをつるし、点Oにばね定数250N/mのつるまきばねをつけてつるしたところ、棒は水平になって静止しました。AOの長さはいくらかを求めます。ただし、重力加速度の大きさ $g=9.8 \ m/s^2$ とします。

2. 解き方の手順

棒が水平に静止しているとき、点Oを支えるばねの力は、AとBにつるされたおもりの重力の合計に等しくなります。

まず、AとBのおもりの重力を計算します。

$F_A = m_A \cdot g = 3.0 \ kg \times 9.8 \ m/s^2 = 29.4 \ N$

$F_B = m_B \cdot g = 2.0 \ kg \times 9.8 \ m/s^2 = 19.6 \ N$

ばねの力 $F$ は、おもりの重力の合計です。

$F = F_A + F_B = 29.4 \ N + 19.6 \ N = 49.0 \ N$

次に、ばねの伸び $x$ を求めます。

$F = kx$ より

$x = \frac{F}{k} = \frac{49.0 \ N}{250 \ N/m} = 0.196 \ m$

点Aから点Oまでの距離を $L$ とします。点Bから点Oまでの距離は $1.0 - L$ となります。

点Oを中心に、AとBの重力によるモーメントのつり合いを考えます。

$F_A \cdot L = F_B \cdot (1.0 - L)$

$29.4 \cdot L = 19.6 \cdot (1.0 - L)$

$29.4 L = 19.6 - 19.6 L$

$49 L = 19.6$

$L = \frac{19.6}{49} = 0.4 \ m$

3. 最終的な答え

AOの長さは0.40 mです。