質量 $m$ のおもりが長さ $l$ の糸でつるされ、水平面内で等速円運動をしている。糸が鉛直方向との角度 $\theta$ を保っているとき、この円運動の周期 $T$ とおもりの速さ $v$ を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ のおもりが長さ $l$ の糸でつるされ、水平面内で等速円運動をしている。糸が鉛直方向との角度 $\theta$ を保っているとき、この円運動の周期 $T$ とおもりの速さ $v$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、おもりにかかる力を考えます。糸の張力を $S$ とすると、おもりには鉛直方向に重力 $mg$ と糸の張力の鉛直成分 $S\cos\theta$ 、水平方向に糸の張力の水平成分 $S\sin\theta$ がかかります。

鉛直方向には力が釣り合っているので、

$S\cos\theta = mg$

となります。

水平方向には、糸の張力の水平成分が向心力となり、おもりは等速円運動をしています。円運動の半径を $r$ とすると、 $r = l\sin\theta$ です。向心力は $m\frac{v^2}{r}$ で表されるので、

$S\sin\theta = m\frac{v^2}{r} = m\frac{v^2}{l\sin\theta}$

となります。

$S = \frac{mg}{\cos\theta}$ を上記の式に代入すると、

$\frac{mg}{\cos\theta}\sin\theta = m\frac{v^2}{l\sin\theta}$

$g\tan\theta = \frac{v^2}{l\sin\theta}$

$v^2 = gl\sin\theta\tan\theta$

$v = \sqrt{gl\sin\theta\tan\theta}$

となります。

周期 $T$ は、円周の長さ $2\pi r$ を速さ $v$ で割ったものなので、

$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi l\sin\theta}{\sqrt{gl\sin\theta\tan\theta}} = 2\pi \sqrt{\frac{l\sin\theta}{g\tan\theta}} = 2\pi \sqrt{\frac{l\cos\theta}{g}}$

となります。

3. 最終的な答え

周期 $T$ は、

$T = 2\pi\sqrt{\frac{l\cos\theta}{g}}$

速さ $v$ は、

$v = \sqrt{gl\sin\theta\tan\theta}$

です。