ベクトル $\vec{A} = 4\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$, $\vec{B} = \vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}$, $\vec{C} = 3\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。 a) ベクトル $\vec{B}$ の単位ベクトル $\vec{e}$ を求めよ。 b) $\vec{A} \cdot (\vec{B} - 3\vec{C})$ を求めよ。 c) $|(\vec{A} + 2\vec{B}) \times (\vec{A} - 2\vec{C})|$ を求めよ。 d) ベクトル $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ の先端を結んで得られる三角形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{A} = 4\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}$, $\vec{B} = \vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}$, $\vec{C} = 3\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}$ が与えられたとき、以下の問題を解く。

a) ベクトル $\vec{B}$ の単位ベクトル $\vec{e}$ を求めよ。

b) $\vec{A} \cdot (\vec{B} - 3\vec{C})$ を求めよ。

c) $|(\vec{A} + 2\vec{B}) \times (\vec{A} - 2\vec{C})|$ を求めよ。

d) ベクトル $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ の先端を結んで得られる三角形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

a) ベクトル $\vec{B}$ の単位ベクトル $\vec{e}$ は、$\vec{e} = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|}$ で求められる。

まず、$\vec{B}$ の大きさ $|\vec{B}|$ を計算する。

$|\vec{B}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

したがって、$\vec{e} = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|} = \frac{1}{\sqrt{14}}(\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}) = \frac{1}{\sqrt{14}}\vec{i} - \frac{2}{\sqrt{14}}\vec{j} + \frac{3}{\sqrt{14}}\vec{k}$

b) $\vec{A} \cdot (\vec{B} - 3\vec{C})$ を計算する。

まず、$\vec{B} - 3\vec{C}$ を計算する。

$\vec{B} - 3\vec{C} = (\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}) - 3(3\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}) = (\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}) - (9\vec{i} + 6\vec{j} + 3\vec{k}) = -8\vec{i} - 8\vec{j} + 0\vec{k}$

次に、$\vec{A} \cdot (\vec{B} - 3\vec{C})$ を計算する。

$\vec{A} \cdot (\vec{B} - 3\vec{C}) = (4\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}) \cdot (-8\vec{i} - 8\vec{j} + 0\vec{k}) = 4(-8) + 1(-8) + 2(0) = -32 - 8 + 0 = -40$

c) $|(\vec{A} + 2\vec{B}) \times (\vec{A} - 2\vec{C})|$ を計算する。

まず、$(\vec{A} + 2\vec{B}) \times (\vec{A} - 2\vec{C})$ を展開する。

$(\vec{A} + 2\vec{B}) \times (\vec{A} - 2\vec{C}) = \vec{A} \times \vec{A} - 2\vec{A} \times \vec{C} + 2\vec{B} \times \vec{A} - 4\vec{B} \times \vec{C} = - 2\vec{A} \times \vec{C} + 2\vec{B} \times \vec{A} - 4\vec{B} \times \vec{C} = -2\vec{A} \times \vec{C} - 2\vec{A} \times \vec{B} - 4\vec{B} \times \vec{C} = -2(\vec{A} \times \vec{C}) - 2(\vec{A} \times \vec{B}) - 4(\vec{B} \times \vec{C})$

$\vec{A} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 - 4)\vec{i} - (4 - 6)\vec{j} + (8 - 3)\vec{k} = -3\vec{i} + 2\vec{j} + 5\vec{k}$

$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = (3 - (-4))\vec{i} - (12 - 2)\vec{j} + (-8 - 1)\vec{k} = 7\vec{i} - 10\vec{j} - 9\vec{k}$

$\vec{B} \times \vec{C} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-2 - 6)\vec{i} - (1 - 9)\vec{j} + (2 - (-6))\vec{k} = -8\vec{i} + 8\vec{j} + 8\vec{k}$

$(\vec{A} + 2\vec{B}) \times (\vec{A} - 2\vec{C}) = -2(-3\vec{i} + 2\vec{j} + 5\vec{k}) - 2(7\vec{i} - 10\vec{j} - 9\vec{k}) - 4(-8\vec{i} + 8\vec{j} + 8\vec{k}) = (6\vec{i} - 4\vec{j} - 10\vec{k}) + (-14\vec{i} + 20\vec{j} + 18\vec{k}) + (32\vec{i} - 32\vec{j} - 32\vec{k}) = 24\vec{i} - 16\vec{j} - 24\vec{k}$

$|(\vec{A} + 2\vec{B}) \times (\vec{A} - 2\vec{C})| = |24\vec{i} - 16\vec{j} - 24\vec{k}| = \sqrt{24^2 + (-16)^2 + (-24)^2} = \sqrt{576 + 256 + 576} = \sqrt{1408} = \sqrt{64 \times 22} = 8\sqrt{22}$

d) ベクトル $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ の先端を結んで得られる三角形の面積を求める。

三角形の面積 $S = \frac{1}{2} |(\vec{B} - \vec{A}) \times (\vec{C} - \vec{A})|$

$\vec{B} - \vec{A} = (\vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}) - (4\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}) = -3\vec{i} - 3\vec{j} + \vec{k}$

$\vec{C} - \vec{A} = (3\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}) - (4\vec{i} + \vec{j} + 2\vec{k}) = -\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}$

$(\vec{B} - \vec{A}) \times (\vec{C} - \vec{A}) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3 & -3 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (3 - 1)\vec{i} - (3 - (-1))\vec{j} + (-3 - 3)\vec{k} = 2\vec{i} - 4\vec{j} - 6\vec{k}$

$|(\vec{B} - \vec{A}) \times (\vec{C} - \vec{A})| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 16 + 36} = \sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}$

$S = \frac{1}{2} |(\vec{B} - \vec{A}) \times (\vec{C} - \vec{A})| = \frac{1}{2} (2\sqrt{14}) = \sqrt{14}$

3. 最終的な答え

a) ベクトル $\vec{B}$ の単位ベクトル $\vec{e} = \frac{1}{\sqrt{14}}\vec{i} - \frac{2}{\sqrt{14}}\vec{j} + \frac{3}{\sqrt{14}}\vec{k}$

b) $\vec{A} \cdot (\vec{B} - 3\vec{C}) = -40$

c) $|(\vec{A} + 2\vec{B}) \times (\vec{A} - 2\vec{C})| = 8\sqrt{22}$

d) ベクトル $\vec{A}$, $\vec{B}$, $\vec{C}$ の先端を結んで得られる三角形の面積は $\sqrt{14}$