(1) 水平面となす角$\theta$で初速度$v_1$で投げ上げられた物体Aについて、最高点に達するまでの時間、最高点の座標、地上に落ちるまでの時間、最大水平到達距離を求める。 (2) 座標$(s, h)$の点Qから水平左向きに初速度$v_2$で物体Bを投げ出す。物体Aと物体Bが衝突する条件を求める。

1. 問題の内容

(1) 水平面となす角$\theta$で初速度$v_1$で投げ上げられた物体Aについて、最高点に達するまでの時間、最高点の座標、地上に落ちるまでの時間、最大水平到達距離を求める。

(2) 座標$(s, h)$の点Qから水平左向きに初速度$v_2$で物体Bを投げ出す。物体Aと物体Bが衝突する条件を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* 最高点に達するまでの時間：

初速度の鉛直成分は$v_1 \sin \theta$。最高点では鉛直方向の速度が0になるので、等加速度運動の公式$v = v_0 - gt$より、

$0 = v_1 \sin \theta - gt$

$t = \frac{v_1 \sin \theta}{g}$。したがって、アは$\frac{v_1 \sin \theta}{g}$

* 最高点の座標：

x座標：$x = v_1 \cos \theta \cdot t = v_1 \cos \theta \cdot \frac{v_1 \sin \theta}{g} = \frac{v_1^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{v_1^2 \sin 2\theta}{2g}$。したがって、イは$\frac{v_1^2 \sin 2\theta}{2g}$

y座標：$y = v_1 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = v_1 \sin \theta \cdot \frac{v_1 \sin \theta}{g} - \frac{1}{2}g(\frac{v_1 \sin \theta}{g})^2 = \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{g} - \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{2g} = \frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{2g}$。したがって、ウは$\frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{2g}$

* 地上に落ちるまでの時間：

投げ上げてから着地までの時間は、最高点に達するまでの時間の2倍なので、

$t = 2 \cdot \frac{v_1 \sin \theta}{g} = \frac{2v_1 \sin \theta}{g}$。したがって、エは$\frac{2v_1 \sin \theta}{g}$

* 最大水平到達距離：

到達距離が最大になるのは、$\theta = 45^\circ$のとき。その時の水平到達距離は、

$R = \frac{v_1^2 \sin (2 \cdot 45^\circ)}{g} = \frac{v_1^2 \sin 90^\circ}{g} = \frac{v_1^2}{g}$。したがって、オは$\frac{v_1^2}{g}$

(2)

* 物体Aと物体Bのx座標が等しいとき：

物体Aのx座標：$x_A = v_1 \cos \theta \cdot t$

物体Bのx座標：$x_B = s - v_2 t$

$x_A = x_B$より、$v_1 \cos \theta \cdot t = s - v_2 t$

$t = \frac{s}{v_1 \cos \theta + v_2}$。したがって、カは$\frac{s}{v_1 \cos \theta + v_2}$

* 物体Aと物体Bのy座標が等しいとき：

物体Aのy座標：$y_A = v_1 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$

物体Bのy座標：$y_B = h - \frac{1}{2}gt^2$

$y_A = y_B$より、$v_1 \sin \theta \cdot t - \frac{1}{2}gt^2 = h - \frac{1}{2}gt^2$

$v_1 \sin \theta \cdot t = h$

$t = \frac{h}{v_1 \sin \theta}$。したがって、キは$\frac{h}{v_1 \sin \theta}$

* 衝突するためには、上記の2つの時間が等しくなければならないので、

$\frac{s}{v_1 \cos \theta + v_2} = \frac{h}{v_1 \sin \theta}$

$\frac{h}{s} = \frac{v_1 \sin \theta}{v_1 \cos \theta + v_2}$

問題文に「h/sは〜でなければならない」とあり、$v_1, v_2, \theta$の値が決まっていないので$\frac{h}{s}$の値が決まらない。よって$v_2 = 0$の場合を考えると、

$\frac{h}{s} = \frac{v_1 \sin \theta}{v_1 \cos \theta} = \tan \theta$

$v_1$と$v_2$に関する条件はなく、$\theta$を固定すると$\frac{h}{s}$が決まってしまう。

衝突するためには、2つの時間が等しくなる必要があるので、

$\frac{s}{v_1 \cos \theta + v_2} = \frac{h}{v_1 \sin \theta}$

これを整理すると、

$v_1s\sin\theta = h(v_1\cos\theta + v_2)$

$v_1(s\sin\theta-h\cos\theta) = hv_2$

$v_2 = \frac{v_1(s\sin\theta-h\cos\theta)}{h}$。

$v_2 > 0$なので、$s\sin\theta-h\cos\theta>0$

$s\sin\theta>h\cos\theta$

$\frac{h}{s}<\tan\theta$

したがって、クは$\tan \theta$より小さい

3. 最終的な答え

(1) ア: $\frac{v_1 \sin \theta}{g}$、イ: $\frac{v_1^2 \sin 2\theta}{2g}$、ウ: $\frac{v_1^2 \sin^2 \theta}{2g}$、エ: $\frac{2v_1 \sin \theta}{g}$、オ: $\frac{v_1^2}{g}$

(2) カ: $\frac{s}{v_1 \cos \theta + v_2}$、キ: $\frac{h}{v_1 \sin \theta}$、ク: $\tan \theta$より小さい