問題2：関数 $y = ax + b$ （$-1 \le x \le 5$）の値域が $1 \le y \le 13$ となるような定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。 問題3(1)：放物線 $y = -2x^2$ を、頂点が点 $(1, -3)$ となるように平行移動した後の放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

問題2：関数 $y = ax + b$ （$-1 \le x \le 5$）の値域が $1 \le y \le 13$ となるような定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a < 0$ とする。

問題3(1)：放物線 $y = -2x^2$ を、頂点が点 $(1, -3)$ となるように平行移動した後の放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

問題2：

- $a < 0$ であるから、$x$ が小さいほど $y$ は大きくなり、$x$ が大きいほど $y$ は小さくなる。

- よって、$x = -1$ のとき $y = 13$ となり、$x = 5$ のとき $y = 1$ となる。

- これらの条件を式にすると、次の2つの式が得られる。

$13 = a(-1) + b$

$1 = a(5) + b$

- これらの式を連立方程式として解く。

$13 = -a + b$

$1 = 5a + b$

- 2つの式を引き算すると、

$12 = -6a$

$a = -2$

- $a = -2$ を $13 = -a + b$ に代入すると、

$13 = -(-2) + b$

$13 = 2 + b$

$b = 11$

問題3(1)：

- 放物線 $y = -2x^2$ の頂点は原点 $(0, 0)$ である。

- 頂点が $(1, -3)$ となるように平行移動するので、$x$ 軸方向に $1$、$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動することになる。

- よって、平行移動後の放物線の方程式は次のようになる。

$y - (-3) = -2(x - 1)^2$

$y + 3 = -2(x - 1)^2$

$y = -2(x - 1)^2 - 3$

$y = -2(x^2 - 2x + 1) - 3$

$y = -2x^2 + 4x - 2 - 3$

$y = -2x^2 + 4x - 5$

3. 最終的な答え

問題2：$a = -2$, $b = 11$

問題3(1)：$y = -2x^2 + 4x - 5$