数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 4n$ で与えられているとき、$\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $a_n = \boxed{\text{ア}}n + \boxed{\text{イ}}$ の形で求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 4n$ で与えられているとき、$\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を $a_n = \boxed{\text{ア}}n + \boxed{\text{イ}}$ の形で求めます。

2. 解き方の手順

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ が成り立ちます。

$S_n = n^2 + 4n$ なので、

$S_{n-1} = (n-1)^2 + 4(n-1) = n^2 - 2n + 1 + 4n - 4 = n^2 + 2n - 3$

したがって、

$a_n = (n^2 + 4n) - (n^2 + 2n - 3) = n^2 + 4n - n^2 - 2n + 3 = 2n + 3$

次に、$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^2 + 4(1) = 1 + 4 = 5$

$a_n = 2n + 3$ に $n=1$ を代入すると、$a_1 = 2(1) + 3 = 5$ となり、$n=1$ の場合も成り立ちます。

よって、一般項 $a_n$ は、$a_n = 2n + 3$ となります。

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 3