与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解してください。

## (1)の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

次に、この式を $a$ について整理します。

$a^2b - a^2c - b^2a + c^2a + b^2c - c^2b = (b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + (b^2c - c^2b)$

さらに、$b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$ および $b^2c - c^2b = bc(b-c)$ を用いて式を書き換えます。

$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c) = (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

最後に、カッコ内を因数分解します。

$(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc] = (b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ の因数分解の結果は、

$-(a-b)(b-c)(c-a)$

です。

## (3)の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、この式を整理します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

この式を $a$ について整理します。

$a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + bc(b+c) = a^2(b+c) + a(b+c)^2 + bc(b+c)$

$(b+c)$ でくくります。

$(b+c)[a^2 + a(b+c) + bc] = (b+c)(a^2 + ab + ac + bc)$

最後に、カッコ内を因数分解します。

$(b+c)(a^2 + ab + ac + bc) = (b+c)[a(a+b) + c(a+b)] = (b+c)(a+b)(a+c)$

3. 最終的な答え

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ の因数分解の結果は、

$(a+b)(b+c)(c+a)$

です。