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数列 $\{b_n\}$ が漸化式 $b_1 = -3$, $b_{n+1} = -\frac{1}{2} b_n - 9$ で定義されるとき、$b_{n+1} + A = -\frac{1}{2} (b_n + A)$ となるような定数 $A$ を求める問題です。

代数学数列漸化式等比数列
2025/8/15

1. 問題の内容

数列 {bn}\{b_n\} が漸化式 b1=−3b_1 = -3, bn+1=−12bn−9b_{n+1} = -\frac{1}{2} b_n - 9 で定義されるとき、bn+1+A=−12(bn+A)b_{n+1} + A = -\frac{1}{2} (b_n + A) となるような定数 AA を求める問題です。

2. 解き方の手順

漸化式 bn+1=−12bn−9b_{n+1} = -\frac{1}{2} b_n - 9 を、bn+1+A=−12(bn+A)b_{n+1} + A = -\frac{1}{2} (b_n + A) の形に変形します。
まず、bn+1+A=−12bn−12Ab_{n+1} + A = -\frac{1}{2} b_n - \frac{1}{2} A を得ます。
次に、bn+1b_{n+1} について解くと、bn+1=−12bn−12A−Ab_{n+1} = -\frac{1}{2} b_n - \frac{1}{2} A - A となります。
したがって、bn+1=−12bn−32Ab_{n+1} = -\frac{1}{2} b_n - \frac{3}{2} A が得られます。
この式と元の漸化式 bn+1=−12bn−9b_{n+1} = -\frac{1}{2} b_n - 9 を比較すると、−32A=−9-\frac{3}{2} A = -9 であることがわかります。
この方程式を AA について解くと、
A=−9−32=−9×(−23)=183=6A = \frac{-9}{-\frac{3}{2}} = -9 \times (-\frac{2}{3}) = \frac{18}{3} = 6 となります。
したがって、数列の漸化式は、bn+1+6=−12(bn+6)b_{n+1} + 6 = -\frac{1}{2} (b_n + 6) と表せます。

3. 最終的な答え

6

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