2次関数 $y = x^2 + 6x + 5 - k$ のグラフが $x$ 軸と接するように、定数 $k$ の値を定め、そのときの接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 6x + 5 - k$ のグラフが $x$ 軸と接するように、定数 $k$ の値を定め、そのときの接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが $x$ 軸と接するということは、2次方程式 $x^2 + 6x + 5 - k = 0$ が重解を持つということです。

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D = 0$ となることです。

判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$ であり、$a = 1$, $b = 6$, $c = 5 - k$ です。

したがって、

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5 - k)$

$D = 36 - 20 + 4k$

$D = 16 + 4k$

$D = 0$ となる条件より、

$16 + 4k = 0$

$4k = -16$

$k = -4$

$k = -4$ を元の式に代入すると、

$y = x^2 + 6x + 5 - (-4)$

$y = x^2 + 6x + 9$

$y = (x + 3)^2$

この式から、グラフは $x = -3$ で $x$ 軸と接することがわかります。

接点の $y$ 座標は $0$ です。

3. 最終的な答え

$k = -4$

接点の座標は $(-3, 0)$