与えられた二次関数 $y = 5x^2 + 4x - 2$ のグラフと $x$ 軸との共有点の座標を求める。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = 5x^2 + 4x - 2$ のグラフと $x$ 軸との共有点の座標を求める。

2. 解き方の手順

$x$軸との共有点は、$y = 0$ となる $x$ の値である。したがって、以下の二次方程式を解く。

$5x^2 + 4x - 2 = 0$

この二次方程式は因数分解できないため、解の公式を用いる。解の公式は、$ax^2 + bx + c = 0$ の解が

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

である。この問題では、$a = 5$, $b = 4$, $c = -2$ であるから、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(5)(-2)}}{2(5)}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 40}}{10}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{56}}{10}$

$\sqrt{56} = \sqrt{4 \times 14} = 2\sqrt{14}$ であるから、

$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{14}}{10}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{14}}{5}$

したがって、共有点の $x$ 座標は $\frac{-2 + \sqrt{14}}{5}$ と $\frac{-2 - \sqrt{14}}{5}$ となる。

共有点の $y$ 座標は $0$ である。

3. 最終的な答え

共有点の座標は $\left( \frac{-2 + \sqrt{14}}{5}, 0 \right)$ と $\left( \frac{-2 - \sqrt{14}}{5}, 0 \right)$ である。