2次関数 $y = 3x^2 + x - 5$ の最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 3x^2 + x - 5$ の最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成して、頂点の $y$ 座標を求めます。

平方完成の手順は以下の通りです。

まず、$x^2$ の項の係数で $x$ の項までをくくります。

$y = 3(x^2 + \frac{1}{3}x) - 5$

次に、$x$ の係数の半分の2乗を足して引きます。

$y = 3(x^2 + \frac{1}{3}x + (\frac{1}{6})^2 - (\frac{1}{6})^2) - 5$

$y = 3((x + \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{36}) - 5$

$y = 3(x + \frac{1}{6})^2 - 3 \cdot \frac{1}{36} - 5$

$y = 3(x + \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{12} - 5$

通分して計算します。

$y = 3(x + \frac{1}{6})^2 - \frac{1}{12} - \frac{60}{12}$

$y = 3(x + \frac{1}{6})^2 - \frac{61}{12}$

よって、頂点の座標は $(-\frac{1}{6}, -\frac{61}{12})$ となります。

2次関数の $x^2$ の係数 ($3$) は正なので、下に凸のグラフになり、頂点の $y$ 座標が最小値となります。

3. 最終的な答え

最小値は $-\frac{61}{12}$ です。