次の2つの不等式を解きます。 (1) $|x-1| < |2x-3| - 2$ (2) $||x| - 1| < 3$

1. 問題の内容

次の2つの不等式を解きます。

(1) $|x-1| < |2x-3| - 2$

(2) $||x| - 1| < 3$

2. 解き方の手順

(1) $|x-1| < |2x-3| - 2$ を解きます。

まず、$|2x-3|$ の絶対値を外します。

$2x-3 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq \frac{3}{2}$ のとき、$|2x-3| = 2x-3$ となります。

$2x-3 < 0$ のとき、つまり $x < \frac{3}{2}$ のとき、$|2x-3| = -(2x-3) = -2x+3$ となります。

(i) $x \geq \frac{3}{2}$ のとき

$|x-1| < (2x-3) - 2$

$|x-1| < 2x - 5$

さらに、$|x-1|$ の絶対値を外します。

$x-1 \geq 0$ つまり $x \geq 1$ のとき、$|x-1| = x-1$ となります。

$x-1 < 0$ つまり $x < 1$ のとき、$|x-1| = -(x-1) = -x+1$ となります。

(i-a) $x \geq \frac{3}{2}$ かつ $x \geq 1$ のとき、つまり $x \geq \frac{3}{2}$ のとき

$x-1 < 2x - 5$

$-x < -4$

$x > 4$

よって、$x > 4$

(i-b) $x \geq \frac{3}{2}$ かつ $x < 1$ となる $x$ は存在しません。

(ii) $x < \frac{3}{2}$ のとき

$|x-1| < (-2x+3) - 2$

$|x-1| < -2x+1$

さらに、$|x-1|$ の絶対値を外します。

(ii-a) $x < \frac{3}{2}$ かつ $x \geq 1$ のとき、つまり $1 \leq x < \frac{3}{2}$ のとき

$x-1 < -2x + 1$

$3x < 2$

$x < \frac{2}{3}$

これは、$1 \leq x < \frac{3}{2}$ と矛盾するので、解なし。

(ii-b) $x < \frac{3}{2}$ かつ $x < 1$ のとき、つまり $x < 1$ のとき

$-x+1 < -2x + 1$

$x < 0$

$x < 0$

以上より、$x > 4$ または $x < 0$ が解となります。

(2) $||x|-1| < 3$ を解きます。

$-3 < |x|-1 < 3$

$-2 < |x| < 4$

$|x| > -2$ は常に成り立つので、$|x| < 4$ を解けばよい。

$-4 < x < 4$

3. 最終的な答え

(1) $x < 0$ または $x > 4$

(2) $-4 < x < 4$