数列 $\{a_n\}$ があり、その初項 $a_1=6$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ が与えられています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。求めたい形は $a_n = \boxed{ウ} \cdot 2^{n-1} + \boxed{エ}$ となっています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、その初項 $a_1=6$ と漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ が与えられています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。求めたい形は $a_n = \boxed{ウ} \cdot 2^{n-1} + \boxed{エ}$ となっています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式から $a_n$ の一般項を求めます。

$a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ より、階差数列が $b_n = a_{n+1} - a_n = 2^{n-1}$ であることがわかります。

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

初項 $a_1 = 6$ を代入すると、

$a_n = 6 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$ は初項 1、公比 2 の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

よって、

$a_n = 6 + 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} + 5$

$n=1$のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 5 = 1+5 = 6$ となり、条件を満たします。

したがって、一般項は $a_n = 2^{n-1} + 5$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 1 \cdot 2^{n-1} + 5$

ウ: 1

エ: 5