2次関数 $y = 2x^2 - x + 1$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 - x + 1$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

2次関数の最小値を求めるには、平方完成を行う。

$y = 2x^2 - x + 1$

$y = 2(x^2 - \frac{1}{2}x) + 1$

次に、括弧の中を平方完成する。

$y = 2(x^2 - \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2) + 1$

$y = 2((x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{16}) + 1$

$y = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{2}{16} + 1$

$y = 2(x - \frac{1}{4})^2 - \frac{1}{8} + 1$

$y = 2(x - \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8}$

この式から、頂点の座標は $(\frac{1}{4}, \frac{7}{8})$ であり、$x = \frac{1}{4}$ のとき、最小値 $\frac{7}{8}$ をとることがわかる。

3. 最終的な答え

$\frac{7}{8}$