2次関数 $y = -3x^2 + 6x + 13$ について、$x$ の変域が $2 < x < 4$ のときの $y$ の値域を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -3x^2 + 6x + 13$ について、$x$ の変域が $2 < x < 4$ のときの $y$ の値域を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -3x^2 + 6x + 13$

$y = -3(x^2 - 2x) + 13$

$y = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 13$

$y = -3((x - 1)^2 - 1) + 13$

$y = -3(x - 1)^2 + 3 + 13$

$y = -3(x - 1)^2 + 16$

この式から、この2次関数の頂点は $(1, 16)$ で、上に凸のグラフであることがわかります。

次に、与えられた $x$ の変域 $2 < x < 4$ における $y$ の値を考えます。

$x = 2$ のとき：

$y = -3(2 - 1)^2 + 16 = -3(1)^2 + 16 = -3 + 16 = 13$

$x = 4$ のとき：

$y = -3(4 - 1)^2 + 16 = -3(3)^2 + 16 = -3(9) + 16 = -27 + 16 = -11$

軸 $x = 1$ は変域 $2 < x < 4$ の外にあるため、頂点の $y$ 座標は値域に含まれません。

また、上に凸のグラフなので、$x$ の値が大きくなるにつれて $y$ の値は減少します。

したがって、$2 < x < 4$ における $y$ の値域は $-11 < y < 13$となります。

3. 最終的な答え

$-11 < y < 13$