多項式 $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $4x-5$、$x+2$ で割ると余りが $-4$ である。 (1) $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りを求めよ。 (2) $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りを求めよ。 (3) $P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割ったときの余りを求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ると余りが $4x-5$、$x+2$ で割ると余りが $-4$ である。

(1) $P(x)$ を $x-1$ で割ったときの余りを求めよ。

(2) $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りを求めよ。

(3) $P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割ったときの余りを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $P(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りが $4x-5$ であることから、$P(x) = (x-1)^2 Q(x) + 4x-5$ と表せる。ここで、$Q(x)$ はある多項式である。

$P(x)$ を $x-1$ で割った余りは、剰余の定理より $P(1)$ に等しい。

$P(1) = (1-1)^2 Q(1) + 4(1) - 5 = 0 + 4 - 5 = -1$

(2) $P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りを $ax+b$ とおく。

$P(x) = (x-1)(x+2)Q_1(x) + ax + b$ と表せる。

$P(1) = a+b = -1$ (1)

$P(-2) = -2a+b = -4$ (2)

(1) - (2) より、 $3a = 3$。よって、$a=1$

$a=1$ を (1) に代入して、$1+b = -1$。よって、$b=-2$

したがって、余りは $x-2$ である。

(3) $P(x)$ を $(x-1)^2(x+2)$ で割ったときの余りを $R(x)$ とおく。

$P(x) = (x-1)^2(x+2)Q_2(x) + R(x)$ と表せる。ここで、$Q_2(x)$ はある多項式であり、$R(x)$ は2次以下の多項式である。

$P(x)$ を $(x-1)^2$ で割った余りが $4x-5$ であることから、$R(x)$ も $(x-1)^2$ で割った余りが $4x-5$ である。

よって、$R(x) = A(x-1)^2 + 4x-5$ と表せる。

$P(x) = (x-1)^2(x+2)Q_2(x) + A(x-1)^2 + 4x-5$

$P(-2) = A(-2-1)^2 + 4(-2) - 5 = 9A - 8 - 5 = 9A - 13 = -4$

$9A = 9$ より、$A=1$

したがって、$R(x) = (x-1)^2 + 4x-5 = x^2 - 2x + 1 + 4x - 5 = x^2 + 2x - 4$

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) $x-2$

(3) $x^2 + 2x - 4$