長方形ABCDを対角線ACで折り、点Bが点Eに移動した図が与えられている。ADとCEの交点をFとする。 (1) △AEFと合同な三角形を答える。 (2) △FACがどんな三角形になるか答える。

1. 問題の内容

長方形ABCDを対角線ACで折り、点Bが点Eに移動した図が与えられている。ADとCEの交点をFとする。

(1) △AEFと合同な三角形を答える。

(2) △FACがどんな三角形になるか答える。

2. 解き方の手順

(1) △AEFと合同な三角形を見つける。

まず、長方形ABCDをACで折り曲げているので、△ABCと△AECは合同である。

よって、AB = AE, BC = EC, ∠BAC = ∠EAC, ∠BCA = ∠ECA, ∠ABC = ∠AEC = 90°。

AD平行BCより∠DAC = ∠BCA = ∠ECA。

△AEFにおいて、∠EAF = ∠EAC = ∠BAC。

∠AFE = 180° - ∠EAF - ∠AEF = 180° - ∠BAC - ∠AEF。

△CDFにおいて、∠DCF = ∠ECA = ∠BCA。

∠DFC = ∠AFE (対頂角)。よって、∠DFC = ∠AFE = 180° - ∠BAC - ∠AEF。

∠CDF = 90°。よって、∠DFC = 180° - ∠DCF - ∠CDF = 180° - ∠BCA - 90° = 90° - ∠BCA。

∠AFE = 90° - ∠BCA。

△AEFと△CDFにおいて、

∠EAF = ∠DAC

AF = CF (後述)

∠AFE = ∠CFD

したがって、一辺両端角がそれぞれ等しいので、△AEF ≡ △CDF。

△AEFと合同な三角形は△CDFである。

(2) △FACがどんな三角形になるか考える。

∠EAC = ∠BAC。また、∠DAC = ∠ECA。

∠FAC = ∠DAC = ∠ECA。

∠FCA = ∠ECA = ∠FAC。

△FACにおいて、∠FAC = ∠FCAなので、△FACは二等辺三角形である。

3. 最終的な答え

(1) △CDF

(2) 二等辺三角形