与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ を展開し、整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$ を展開し、整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)$と$(x+4)$、$(x+2)$と$(x+3)$をそれぞれ掛け合わせます。

$(x+1)(x+4) = x^2 + 4x + x + 4 = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$

次に、得られた2つの二次式を掛け合わせます。

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6)$

ここで、$y = x^2 + 5x$と置換すると、

$(y + 4)(y + 6) = y^2 + 6y + 4y + 24 = y^2 + 10y + 24$

$y$を元に戻すと、

$(x^2 + 5x)^2 + 10(x^2 + 5x) + 24 = (x^4 + 10x^3 + 25x^2) + (10x^2 + 50x) + 24$

最後に、同類項をまとめます。

$x^4 + 10x^3 + (25x^2 + 10x^2) + 50x + 24 = x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$

3. 最終的な答え

$x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24$