$a^2 = b^2 + 24$ を満たす自然数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a^2 = b^2 + 24$ を満たす自然数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$a^2 = b^2 + 24$ を変形します。

$a^2 - b^2 = 24$

左辺を因数分解すると、

$(a+b)(a-b) = 24$

$a$ と $b$ は自然数なので、$a+b$ と $a-b$ も整数であり、$a+b > 0$ である。

また、$a+b > a-b$ である。

$24$ の約数の組を考えると、$24 = 1 \times 24 = 2 \times 12 = 3 \times 8 = 4 \times 6$

これらの組み合わせについて、以下の場合分けを行う。

(i) $a+b = 24$ かつ $a-b = 1$ のとき

$2a = 25$ より、$a = \frac{25}{2}$ となり、$a$ が自然数にならないため不適。

(ii) $a+b = 12$ かつ $a-b = 2$ のとき

$2a = 14$ より、$a = 7$。このとき、$b = 12-a = 12-7 = 5$。

$(a, b) = (7, 5)$ は、$a^2 = 49$, $b^2 + 24 = 25 + 24 = 49$ より、与えられた条件を満たす。

(iii) $a+b = 8$ かつ $a-b = 3$ のとき

$2a = 11$ より、$a = \frac{11}{2}$ となり、$a$ が自然数にならないため不適。

(iv) $a+b = 6$ かつ $a-b = 4$ のとき

$2a = 10$ より、$a = 5$。このとき、$b = 6-a = 6-5 = 1$。

$(a, b) = (5, 1)$ は、$a^2 = 25$, $b^2 + 24 = 1 + 24 = 25$ より、与えられた条件を満たす。

したがって、$a=7, b=5$ と $a=5, b=1$ が解である。

3. 最終的な答え

$(a, b) = (5, 1), (7, 5)$