次の式の分母を有理化し、 $\frac{\boxed{オ} + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{\boxed{カキ}}$ の $\boxed{オ}$と$\boxed{カキ}$に当てはまる数字を求めよ。 $ \frac{1}{\sqrt{5}+1+\sqrt{6}} $

1. 問題の内容

次の式の分母を有理化し、 $\frac{\boxed{オ} + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{\boxed{カキ}}$ の $\boxed{オ}$と$\boxed{カキ}$に当てはまる数字を求めよ。

$\frac{1}{\sqrt{5}+1+\sqrt{6}}$

2. 解き方の手順

まず、分母を有理化するために、分母の $\sqrt{5} + 1 + \sqrt{6}$ に対して $(\sqrt{5}+1) - \sqrt{6}$を掛けます。

分子と分母に $(\sqrt{5}+1) - \sqrt{6}$ を掛けると、

$\frac{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{6}}{(\sqrt{5}+1+\sqrt{6})((\sqrt{5}+1)-\sqrt{6})}$

分母を展開します。

$(\sqrt{5}+1+\sqrt{6})((\sqrt{5}+1)-\sqrt{6}) = (\sqrt{5}+1)^2 - (\sqrt{6})^2$

$= (5+2\sqrt{5}+1) - 6 = 6+2\sqrt{5} - 6 = 2\sqrt{5}$

したがって、

$\frac{(\sqrt{5}+1)-\sqrt{6}}{2\sqrt{5}}$

さらに分母を有理化するために、分子と分母に $\sqrt{5}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{5}((\sqrt{5}+1)-\sqrt{6})}{2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{5 + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{10}$

したがって、

$\frac{5 + \sqrt{5} - \sqrt{30}}{10}$

3. 最終的な答え

$\boxed{オ} = 5$

$\boxed{カキ} = 10$