与えられた2つの漸化式で定義された数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。 (1) $a_1 = 1, a_2 = 3, a_{n+2} + a_{n+1} - 2a_n = 0$ (2) $a_1 = 1, a_2 = 3, a_{n+2} - 6a_{n+1} + 8a_n = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの漸化式で定義された数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。

(1) $a_1 = 1, a_2 = 3, a_{n+2} + a_{n+1} - 2a_n = 0$

(2) $a_1 = 1, a_2 = 3, a_{n+2} - 6a_{n+1} + 8a_n = 0$

2. 解き方の手順

(1)

漸化式 $a_{n+2} + a_{n+1} - 2a_n = 0$ を特性方程式を用いて解きます。特性方程式は $x^2 + x - 2 = 0$ となり、これを解くと $(x+2)(x-1) = 0$ より $x = 1, -2$ となります。したがって、一般項は $a_n = A(1)^n + B(-2)^n = A + B(-2)^n$ と表せます。

初期条件 $a_1 = 1, a_2 = 3$ より、

$a_1 = A - 2B = 1$

$a_2 = A + 4B = 3$

この連立方程式を解くと、 $6B = 2$ より $B = \frac{1}{3}$。 $A = 1 + 2B = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$。

よって、$a_n = \frac{5}{3} + \frac{1}{3}(-2)^n$。

(2)

漸化式 $a_{n+2} - 6a_{n+1} + 8a_n = 0$ を特性方程式を用いて解きます。特性方程式は $x^2 - 6x + 8 = 0$ となり、これを解くと $(x-2)(x-4) = 0$ より $x = 2, 4$ となります。したがって、一般項は $a_n = A(2)^n + B(4)^n$ と表せます。

初期条件 $a_1 = 1, a_2 = 3$ より、

$a_1 = 2A + 4B = 1$

$a_2 = 4A + 16B = 3$

この連立方程式を解くと、$4A + 8B = 2$ より $8B = 1$ で $B = \frac{1}{8}$。 $2A = 1 - 4B = 1 - \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ より $A = \frac{1}{4}$。

よって、$a_n = \frac{1}{4}(2)^n + \frac{1}{8}(4)^n = \frac{2^n}{4} + \frac{4^n}{8} = 2^{n-2} + 2^{2n-3}$.

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{5}{3} + \frac{1}{3}(-2)^n$

(2) $a_n = 2^{n-2} + 2^{2n-3}$