与えられた二つの2次式を複素数の範囲で因数分解します。 (1) $2x^2 - 17x - 69$ (2) $x^2 - 2x - 1$

1. 問題の内容

与えられた二つの2次式を複素数の範囲で因数分解します。

(1) $2x^2 - 17x - 69$

(2) $x^2 - 2x - 1$

2. 解き方の手順

一般に、2次式 $ax^2 + bx + c$ を因数分解するには、まず2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解 $\alpha, \beta$ を求めます。

すると、$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。

解 $\alpha, \beta$ は解の公式を用いて求めます。

(1) $2x^2 - 17x - 69 = 0$ の解を求めます。

解の公式より、

$x = \frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2 - 4(2)(-69)}}{2(2)}$

$x = \frac{17 \pm \sqrt{289 + 552}}{4}$

$x = \frac{17 \pm \sqrt{841}}{4}$

$x = \frac{17 \pm 29}{4}$

$x_1 = \frac{17 + 29}{4} = \frac{46}{4} = \frac{23}{2}$

$x_2 = \frac{17 - 29}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

よって、$2x^2 - 17x - 69 = 2(x - \frac{23}{2})(x + 3) = (2x - 23)(x + 3)$

(2) $x^2 - 2x - 1 = 0$ の解を求めます。

解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2}$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2}$

$x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2}$

$x = 1 \pm \sqrt{2}$

$x_1 = 1 + \sqrt{2}$

$x_2 = 1 - \sqrt{2}$

よって、$x^2 - 2x - 1 = (x - (1 + \sqrt{2}))(x - (1 - \sqrt{2})) = (x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2})$

3. 最終的な答え

(1) $(2x - 23)(x + 3)$

(2) $(x - 1 - \sqrt{2})(x - 1 + \sqrt{2})$