2次関数 $y = -x^2 + 6x$ の定義域 $1 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 6x$ の定義域 $1 \le x \le 4$ における最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、2次関数を平方完成する。

$y = -x^2 + 6x = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x - 3)^2 + 9$

よって、この2次関数の頂点は $(3, 9)$ であり、上に凸な放物線である。

次に、定義域 $1 \le x \le 4$ における最大値と最小値を考える。

頂点の $x$ 座標 $x = 3$ は定義域に含まれるので、最大値は頂点の $y$ 座標である $9$。

最小値を求める。

$x = 1$ のとき、 $y = -1^2 + 6(1) = -1 + 6 = 5$

$x = 4$ のとき、 $y = -4^2 + 6(4) = -16 + 24 = 8$

定義域の端点の $y$ 座標は、それぞれ $5$ と $8$。

したがって、最小値は $5$ である。

3. 最終的な答え

最大値は $9$、最小値は $5$。