2次関数 $y = -x^2 + 6x - 1$ の $2 \le x \le 5$ における最小値を求めよ。

1. 問題の内容

2次関数 $y = -x^2 + 6x - 1$ の $2 \le x \le 5$ における最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = -x^2 + 6x - 1$

$y = -(x^2 - 6x) - 1$

$y = -(x^2 - 6x + 9 - 9) - 1$

$y = -(x - 3)^2 + 9 - 1$

$y = -(x - 3)^2 + 8$

よって、この2次関数の頂点は $(3, 8)$ である。このグラフは上に凸の放物線である。

次に、定義域 $2 \le x \le 5$ における最小値を考える。

頂点の $x$ 座標は $x = 3$ であり、これは定義域に含まれる。

$x = 2$ のとき、$y = -(2 - 3)^2 + 8 = -1 + 8 = 7$

$x = 5$ のとき、$y = -(5 - 3)^2 + 8 = -4 + 8 = 4$

$x = 5$ のとき、$y$ は最小値をとる。

3. 最終的な答え

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