実数 $x, y$ が $x^2 + xy + y^2 = 1$ を満たすとき、$xy - x - y$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

実数 $x, y$ が $x^2 + xy + y^2 = 1$ を満たすとき、$xy - x - y$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$xy - x - y$ の最大値と最小値を求めるために、$k = xy - x - y$ とおきます。

$x + y = s, xy = t$ とおくと、$x^2 + xy + y^2 = (x+y)^2 - xy = s^2 - t = 1$ となります。

よって、$t = s^2 - 1$ です。

$k = xy - x - y$ に代入すると、$k = t - s = s^2 - 1 - s$ となります。

$k = s^2 - s - 1$ を $s$ について整理すると、$s^2 - s - (k+1) = 0$ となります。

$x, y$ は実数であるので、$s^2 - 4t \geq 0$ である必要があります。

ここで、$s^2 - 4t = (x+y)^2 - 4xy = (x-y)^2 \geq 0$ です。

$s^2 - 4t \geq 0$ に $t = s^2 - 1$ を代入すると、$s^2 - 4(s^2 - 1) \geq 0$ となります。

$-3s^2 + 4 \geq 0$ より、$3s^2 \leq 4$ なので、$s^2 \leq \frac{4}{3}$ となります。

したがって、$-\frac{2}{\sqrt{3}} \leq s \leq \frac{2}{\sqrt{3}}$ が成立します。

$k = s^2 - s - 1$ なので、$k = (s - \frac{1}{2})^2 - \frac{5}{4}$ と変形できます。

$s$ の範囲は $-\frac{2}{\sqrt{3}} \leq s \leq \frac{2}{\sqrt{3}}$ なので、$k$ は $s = \frac{1}{2}$ で最小値 $-\frac{5}{4}$ をとります。

また、$s = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ で最大値をとるので、$k = (\frac{-2}{\sqrt{3}})^2 - (\frac{-2}{\sqrt{3}}) - 1 = \frac{4}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 = \frac{1}{3} + \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{1+2\sqrt{3}}{3}$ となります。

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx \frac{2(1.732)}{3} \approx 1.155$ なので、$s=\frac{2}{\sqrt{3}}$ のとき、$k = \frac{4}{3} - \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 = \frac{1}{3} - \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{1-2\sqrt{3}}{3} \approx -0.816$

$s = \frac{1}{2}$ で最小値 $k = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{4}{4} = -\frac{5}{4} = -1.25$

$s = -\frac{2}{\sqrt{3}}$ のとき $k = \frac{4}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 = \frac{1+2\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

最小値：$-\frac{5}{4}$

最大値：$\frac{1 + 2\sqrt{3}}{3}$