放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したものが、2点 $(-2, 0)$, $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2 + 3x + 1$ を平行移動したものが、2点 $(-2, 0)$, $(1, 12)$ を通るとき、その放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

平行移動後の放物線の方程式を $y = -2(x-p)^2 + 3(x-p) + 1 + q$ と置くことはできないので、$y = -2x^2 + bx + c$ と置く。平行移動しても $x^2$ の係数は変わらないため。

2点 $(-2, 0)$, $(1, 12)$ を通ることから、次の2つの式が成り立つ。

$0 = -2(-2)^2 + b(-2) + c$

$12 = -2(1)^2 + b(1) + c$

整理すると、

$0 = -8 - 2b + c$

$12 = -2 + b + c$

すなわち、

$2b - c = -8$ ...(1)

$b + c = 14$ ...(2)

(1) + (2) より、

$3b = 6$

$b = 2$

これを(2)に代入すると、

$2 + c = 14$

$c = 12$

したがって、求める放物線の方程式は、

$y = -2x^2 + 2x + 12$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 + 2x + 12$