$a, b$ を定数とする連立不等式 $\begin{cases} |x-2a+4| < 5 & ...(1) \\ x > b \end{cases}$ について、以下の問題を解く。 (1) 不等式(1)の解を求める。 (2) 連立不等式を満たす整数がちょうど2つであるとき、連立不等式を満たす $x$ の範囲を数直線上に表した図として最も適切なものを選択する。 (3) $b=1$ のとき、$a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a, b$ を定数とする連立不等式

$\begin{cases} |x-2a+4| < 5 & ...(1) \\ x > b \end{cases}$

について、以下の問題を解く。

(1) 不等式(1)の解を求める。

(2) 連立不等式を満たす整数がちょうど2つであるとき、連立不等式を満たす $x$ の範囲を数直線上に表した図として最も適切なものを選択する。

(3) $b=1$ のとき、$a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $|x-2a+4| < 5$ を解く。

$-5 < x-2a+4 < 5$

$-5-4 < x-2a < 5-4$

$-9 < x-2a < 1$

$2a-9 < x < 2a+1$

したがって、不等式(1)の解は $2a-9 < x < 2a+1$ である。よって、ア=9, イ=<, ウ=<, エ=1。

(2) 連立不等式

$\begin{cases} 2a-9 < x < 2a+1 \\ x > b \end{cases}$

を満たす整数がちょうど2つであるとき、数直線上に表した図として適切なものは、不等式 $x > b$ の範囲と $2a-9 < x < 2a+1$ の範囲が重なり、その重なっている範囲に整数がちょうど2つ含まれる必要がある。図を比較すると、図②が適切である。なぜなら、図②では、$b$の値と $2a-9$ の値の間に重なりがあり、整数2つ分だけ範囲があるからである。したがって、オ=2。

(3) $b=1$のとき、$2a-9 < x < 2a+1$ かつ $x > 1$ である。

つまり、$1 < x < 2a+1$ となる。この範囲に整数がちょうど2つ含まれるということは、整数2と3が含まれ、4は含まれないということである。

したがって、$3 < 2a+1 \leq 4$ となる。

$3-1 < 2a \leq 4-1$

$2 < 2a \leq 3$

$1 < a \leq \frac{3}{2}$

よって、カ=1, キ=<, ク=3, ケ=/, コ=2。ここで、「/」は分数を示している。

3. 最終的な答え

(1) ア=9, イ=<, ウ=<, エ=1

(2) オ=2

(3) カ=1, キ=<, ク=3, ケ=/, コ=2 ($1 < a \leq \frac{3}{2}$)